Número de elementos en un finito $\sigma$ -Álgebra

Question

Me han pedido que demuestre que el número de elementos de un álgebra sigma finita sobre un conjunto $X$ es $2^n$ para algún número entero $n$ . ¿Cómo puedo solucionar este problema? No tengo ni idea de por dónde empezar. Gracias de antemano por cualquier idea.

¿Tengo que demostrar que dado un conjunto $F$ , $\sigma(F)$ es en realidad un conjunto de potencias de algún conjunto digamos $S$ ?

Answer 1

Dejemos que $\Sigma$ sea el $\sigma$ -Álgebra. Elija $x \in X$ y definir $M_x = \cap_{M \in \Sigma, x \in M} M$ . Claramente $M_x \neq \emptyset$ y $M_x \in \Sigma$ .

Además, la colección $F = \{M_x \} \subset \Sigma$ es una partición de $X$ (y finito, por supuesto). Para ver esto, supongamos $M_x \cap M_y \neq \emptyset$ . Entonces debemos tener $M_x = M_y$ o bien $M_x \setminus M_y $ o $M_y \setminus M_x $ serían conjuntos estrictamente menores contradiciendo la definición de $M_x$ o $M_y$ .

Además, está claro que si $M \in \Sigma$ entonces $M = \cup_{x \in M} M_x$ por lo que cada elemento de $\Sigma$ es la unión (disjunta) de los miembros de $F$ (el conjunto vacío tomado como la unión de ningún miembro de $F$ ), por lo que $|\Sigma| = 2^{|F|}$ .

Answer 2

Este es un argumento diferente. Supongamos que $\mathcal{B}$ es un $\sigma$ -de subconjuntos de algún conjunto $X$ o incluso sólo un álgebra. Definir una operación de adición en $\mathcal{B}$ por $A+B=(A\setminus B)\cup(B\setminus A)$ (esta operación también se conoce como "diferencia simétrica"). Cálculos sencillos muestran que esta operación es conmutativa y asociativa, tiene el conjunto vacío como identidad y satisface $A+A=\emptyset$ para todos $A\in\mathcal{B}$ . Esta operación hace que $\mathcal{B}$ un grupo abeliano, y es de hecho un espacio vectorial sobre el campo $\mathbb{Z}/2$ desde $A+A=\emptyset$ para todos $A$ .

Ahora sólo tenemos que utilizar el álgebra lineal. Todo espacio vectorial sobre $\mathbb{Z}/2$ tiene una base. Si $\mathcal{B}$ es finito, la base es finita, por lo que $\mathcal{B}$ es isomorfo al espacio vectorial $(\mathbb{Z}/2)^n$ para algunos $n$ . En particular, $\mathcal{B}$ tiene $2^n$ elementos.

Answer 3

Obsérvese que un finito $\sigma$ -Álgebra $\mathcal{A}$ tiene elementos mínimos no vacíos. Demuestre que cada elemento de $\mathcal{A}$ es la unión de estos elementos mínimos.

Answer 4

Creo que todas las respuestas anteriores son incorrectas, ya que, además de todas las uniones e intersecciones, hay que contar todas las posibles diferencias y diferencias simétricas, así como sus complementos. Por ejemplo, para n=2, tendrás 16 conjuntos en lugar de 4. Creo que debería ser 2^{2^n} en lugar de 2^n.