He aprendido en mis cursos de probabilidad que la función de distribución acumulativa $F$ de una variable aleatoria $X$ es derecha continua. ¿Es posible demostrar que?
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farzad
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Para probar el derecho de la continuidad de la función de distribución tiene el uso de la continuidad de arriba de $P$, lo que probablemente resultó en uno de sus cursos de probabilidad.
Lema. Si una secuencia de eventos $\{A_n\}_{n\geq 1}$ está disminuyendo, en el sentido de que $A_n\supset A_{n+1}$ por cada $n\geq 1$,$P(A_n)\downarrow P(A)$, en el que $A=\cap_{n=1}^\infty A_n$.
La función de distribución de $F$ es de la derecha continua en algún punto de $a$ si y sólo si para cada disminución de la secuencia de los números reales $\{x_n\}_{n\geq 1}$ tal que $x_n\downarrow a$ tenemos $F(x_n)\downarrow F(a)$.
Definir los eventos $A_n=\{\omega : X(\omega)\leq x_n\}$$n\geq 1$. Vamos a probar que $$\bigcap_{n=1}^\infty A_n=\{\omega:X(\omega)\leq a\}\, .$$
En una dirección, si $X(\omega)\leq x_n$ por cada $n\geq 1$, ya que el $x_n\downarrow a$,$X(\omega)\leq a$.
En la otra dirección, si $X(\omega)\leq a$, ya que el $a\leq x_n$ por cada $n\geq 1$,$X(\omega)\leq x_n$, para cada $n\geq 1$.
Usando el Lema, el resultado de la siguiente manera: $$ F(x_n) = P\{X\leq x_n\} = P(A_n) \downarrow P\left( \carpeta cap_{i=1}^\infty A_n \right) = P\{X\leq\} = F(a) \, . $$
