Construir una circunferencia por un punto dado, tangente a una recta dada y tangente a una circunferencia dada

Question

Mientras navegaba por problemas similares a el problema de Apolonio He encontrado referencias a construcciones de todo tipo de círculos. Por ejemplo, no sólo es posible construir una circunferencia tangente a tres circunferencias dadas, sino que se puede construir una circunferencia que pase por tres puntos cualesquiera, que sea tangente a tres rectas cualesquiera, que pase por dos puntos dados y sea tangente a una recta o circunferencia, que pase por un punto dado y sea tangente a dos rectas o circunferencias dadas, etc. Prácticamente cualquier combinación de criterios sobre puntos, líneas y círculos, con repetición.

¿Podemos tener uno de cada? No he encontrado ningún recurso que diga si es posible o no construir una circunferencia que pase por un punto dado, tangente a una recta dada y tangente a una circunferencia dada. ¿Es posible dicha construcción? Gracias.

Answer 1

Es posible, siempre que el punto y al menos una parte del círculo estén en el mismo lado de la línea y el círculo no separe el punto de la línea. Si el punto y el círculo están en lados opuestos de la línea, o si el punto está dentro del círculo y la línea totalmente fuera, entonces es imposible (como ocurre con tres círculos anidados en la versión original).

Wikipedia lo describe como Caso especial 6 del problema de Apolonio con hasta 4 soluciones

Answer 2

Si la circunferencia y la recta tienen un punto de intersección, puedes enviar el punto de intersección al infinito con una inversión (respecto a una circunferencia que toma ese punto como centro) y lo has reducido a un problema con dos rectas tangentes y un punto (que supongo que conoces).

Para el caso sin intersección, tendría que reflexionar más, pero en cualquier caso, es equivalente por inversión a un punto y dos círculos si ya has aceptado los casos con repetición.

Answer 3

Utilizaré la inversión para resolver el problema. Sea el punto dado p, la circunferencia c y la recta l. llamemos a una circunferencia centrada en p y de radio unitario $\omega.$ llaman a los inversos de $c^\prime$ y $l^\prime.$ encontrar las tangentes comunes a (puede haber hasta cuatro) a $c^\prime$ y $l^\prime$ invertir cada una de las tangentes en $\omega$ que debería darte los círculos necesarios.