Puede una infinita suma de los números irracionales ser racional?

Question

Deje $S = \sum_ {k=1}^\infty a_k $ donde cada una de las $a_k$ es positivo e irracional. Es posible que $S$ a un ser racional, teniendo en cuenta la restricción adicional de que el no de los $a_k$'s es una combinación lineal de los otros ?

Por combinación lineal, nos referimos, existen algunas racional de los números de $u,v$ tal que $a_i = ua_j + v$.

Answer 1

EDIT: Perdón que me meta, pero se ha demostrado en los comentarios por robjohn y Michael que estos no son linealmente independientes. En Efecto:$$91a_1-10a_2=10$$ - Akiva Weinberger

Pensar en una serie de números reales con números decimales expansiones como

0.1100110000110000001100000000110000000000110000000...
0.0011001001001000010010000001001000000001001000000...
0.0000000110000100100001000010000100000010000100000...
0.0000000000000011000000100100000010000100000010000...
0.0000000000000000000000011000000001001000000001000...
0.0000000000000000000000000000000000110000000000100...
0.0000000000000000000000000000000000000000000000011...
...

Es decir, un determinado dígito es sólo de 1 en uno de los números de la serie, y 0 en todos los demás, y se distribuyen como el de arriba.

Todos esos números son irracionales porque su expansión decimal nunca se repite, son linealmente independientes, y su suma es 1/9 = 0.111111...

EDIT: Ángel Valencia propone el siguiente, por desgracia, también sin pruebas. Parece probable que el trabajo a mí, pero yo (RemcoGerlich) estoy trabajando en mi propia revisión con la prueba.

0.10010000000100000000000000100000000000000000000001000000...
0.01101100011011000000000011011000000000000000000110110000...
0.00000011100000111000011100001110000000000000111000001110...
0.00000000000000000111100000000001111000001111000000000000...
0.00000000000000000000000000000000000111110000000000000000...
...

-

Answer 2

Si $e^{\ln x}$ no está permitido, podemos utilizar otra función es la serie de Maclaurin. Por ejemplo $$\tan \frac{\pi}4=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n+2}(2^{2n+2}-1)B_{2n+2}}{(2n+2)!}\left(\frac{\pi}4\right)^{2n+1}=1.$$ Tenga en cuenta que $(-1)^nB_{2n+2}$ es positivo para todos los $n\in \mathbb{N}$. Que garantiza que todos los términos de la serie son positivos.

Answer 3

$$ \begin{align} 1 &=\log(e)\\ &=-\log\left(1-\left(1-\frac1e\right)\right)\\ &=\sum_{k=1}^\infty\frac1k\left(1-\frac1e\right)^k \end{align} $$ Desde $e$ es trascendental, no racional finito de combinaciones de los términos puede ser $0$.

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Supongamos que algunos finito combinación racional de los términos se $0$, luego de algunos $\{a_k\}\subset\mathbb{Q}$ $$ \begin{align} 0 &=\sum_{k=1}^n\frac{a_k}k\left(1-\frac1e\right)^k\\ &=\sum_{k=1}^n\sum_{j=0}^k\frac{a_k}k\binom{k}{j}(-1)^je^{-j}\\ &=\sum_{k=1}^n\left[\frac{a_k}k+\sum_{j=1}^k\frac{a_k}k\binom{k}{j}(-1)^je^{-j}\right]\\ &=\sum_{k=1}^n\frac{a_k}k+\sum_{j=1}^n\left[\sum_{k=j}^n(-1)^j\frac{a_k}k\binom{k}{j}\right]e^{-j} \end{align} $$ Por lo tanto, $$ 0=\left[\sum_{k=1}^n\frac{a_k}k\right]e^n+\sum_{j=1}^n\left[\sum_{k=j}^n(-1)^j\frac{a_k}k\binom{k}{j}\right]e^{n-j} $$ lo cual es imposible, ya que $e$ es trascendental.

Answer 4

\begin{align} 1&=\frac{\sqrt2}2+\frac{\sqrt3}6+\frac{\sqrt5}{531}+\frac{\sqrt7}{376169}+\dotsb\\ &=\sum_{p\text{ prime}}\frac{\sqrt p}{a_p} \end{align} donde $a_p$ es una secuencia determinada; no es difícil mostrar que existe una secuencia $a_p$ que satisface la anterior. (De hecho, hay infinitamente muchos de los que trabajan.)

Cada uno de esos términos son linealmente independientes.

Answer 5

Seleccione algún número racional $S$ y cualquier secuencia de linealmente independiente de los números irracionales $x_k$. $x_k=\sqrt{p_k}$ con los números primos $p_k$ es un ejemplo. A continuación, empezar con $S_0=0$.

La iteración de la asunción es $S_n=\sum_{k=1}^na_k<S$. Desde $\Bbb Q·x_{n+1}$ es denso en $\Bbb R$ y disjunta de a $\Bbb Q+\Bbb Q·x_1+…+\Bbb Q·x_n$ por la independencia lineal, no es un número racional $r_{n+1}$, de modo que $r_{n+1}·x_{n+1}$ entre $(S-S_n)/2$$S-S_n$. Set $a_{n+1}=r_{n+1}·x_{n+1}$, luego por la independencia lineal $S_{n+1}<S$. Esto le da un ejemplo de la solicitud de secuencia positiva de los números irracionales cuya serie converge al número racional $S$.