cheque hecho: la geometría mundial / topología del espacio de los módulos de curvas

Question

Pregunta:

Es el espacio de moduli de suaves curvas complejas de género $g\geq2$ isomorfo al espacio afín $\mathbb A_{\mathbb C}^{3g-3}$?

(Nota: no estoy preguntando acerca de la compactification de este espacio, que por definición no es afín!)

Sé que la compleja dimensión es $3g-3$, y así es localmente isomorfo al espacio vectorial $\mathbb C^{3g-3}$. Pero es globalmente $\mathbb A_{\mathbb C}^{3g-3}$?

No puedo encontrar una referencia que responde a esta.

ACTUALIZACIÓN #1:

Género $g=1$ no está en el rango de mi pregunta, pero yo estaba tratando de utilizar para la intuición, sin embargo. Una de la manera de calcular el espacio de moduli de suaves curvas elípticas me da $\mathbb A^1_{\mathbb C}$ como el espacio de moduli (es decir, utilizando la $j$-invariante) y otra forma me da $\mathbb{CP}^1\backslash\{0,1,\infty\}$ (mediante el estudio de $2:1$ cubre de $\mathbb{CP}^1$ ramificados $4$ pares-puntos distintos). Ambos son unidimensionales y noncompact, pero que es el mejor candidato para el espacio de moduli? Sé que el tema de los módulos de curvas elípticas es bastante sutil, y la verdadera respuesta se encuentra en el mundo de las pilas, pero si tu sólo dos opciones se $\mathbb A^1_{\mathbb C}$$\mathbb{CP}^1\backslash\{0,1,\infty\}$, con cuál te quedarías? ("Ni" no está permitido!) ¿El $j$-invariante, simplemente, dar las deformaciones en torno a algunos en particular de curva elíptica de su elección, y por lo tanto hace que el antiguo espacio en el espacio de la tangente al espacio de moduli, mientras que el segundo espacio es el "verdadero" espacio de moduli (en algún sentido)?

ACTUALIZACIÓN #2:

Se me ocurrió que el $0$ $1$ que se omite de la línea proyectiva en el segundo candidato espacio podría ser los dos "especial" isomorfismo clases de curvas elípticas (con automorphism grupos $\mathbb Z_6$$\mathbb Z_4$, respectivamente). Si fuéramos a restaurar estos dos puntos, esto sería correcta la "discrepancia" entre los dos candidatos de los módulos de los espacios. El isomorfismo de afín variedades de$\mathbb A^1_{\mathbb C}$$\mathbb{CP}^1\backslash\{\infty\}$, es decir, desde el espacio de $j$-invariantes a doble cubre de $\mathbb{CP}^1$ ramificados $4$ puntos, sería $a\mapsto1728^{-1}a$.

Para que esto sea correcto, sería necesario que el $j=0$ $j=1728$ curvas son ramificados $4$ no distintos puntos (tal vez un doble punto de ramificación para uno y un triple para el otro)...podría cualquiera de esta retención de agua?

(O quizás $j=0$ $j=1728$ no puede ser realizado como doble en las portadas de todos?)

Si alguna de esta experimentación con el $g=1$ caso informar a la $g>1$ caso? ¿Qué conocimientos debe ser que me da sobre la pregunta original?

Answer 1

Echa un vistazo a el libro "Moduli de curvas" por Harris y Morrison. Él tiene las respuestas a sus preguntas. En particular, para todos los $g>2$ el espacio de moduli contiene curvas, por lo tanto no puede ser afín. Es un teorema de Díaz que para todos los $g>22$ el espacio de moduli no es ni siquiera uniratonal.

Edit: me misremembered que demostró lo que (debería haber revisado el libro antes de escribir la respuesta). Es un teorema de Harris y Mumford (Teorema de 6.59 de "Módulos de curvas") $M_g$ es de tipo general, para $g\ge 23$.

En cualquier caso, (teorema 2.33 del mismo libro), ya que para $g\ge 3$, $M_g$ contiene curvas (en realidad, contiene una curva completa a través de cada punto), no se puede Stein. En particular, no es isomorfo al espacio afín.

Answer 2

a) El espacio de moduli $\mathcal M_g$ de suaves curvas proyectivas no es isomorfo a $\mathbb A^n_\mathbb C$ porque su único mundial holomorphic funciones son sólo las constantes: $\mathcal O_\text {hol}(\mathcal M_g)=\mathbb C$.
De ahí el holomorphic variedad subyacente $\mathcal M_g$ no es ni siquiera Stein (mientras que la de curso $\mathbb A^n_\mathbb C$ es Stein) , un hecho confirmado por studiosus la respuesta que contiene curvas.

b) Otra razón por la $\mathcal M_g$ no es isomorfo a $\mathbb A^n_\mathbb C$ es que es singular.
Para $g\geq 4$ tenemos el buen criterio de que un punto de $[C]\in \mathcal M_g$ es singular iff la correspondiente curva de $C$ tiene un no-trivial automorphism.
Y no siempre existen tales curvas de género $g$ no triviales automorfismos: el hyperelliptic curvas, por ejemplo.