Existencia de la densidad natural de la secuencia estrictamente creciente del número entero positivo?

Question

Deje$A=\{a_n\}$ es una sucesión estrictamente creciente de número entero positivo. La densidad natural de esta secuencia se define por$\delta(A)=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{A(n)}{n}$ siempre que exista el límite y donde$A(n)$ es el número de elementos de$A$ que no excedan$n$. ¿Hay una secuencia estrictamente creciente de número entero positivo$A=\{a_n\}$ de tal manera que no existe$\delta(A)$?

Answer 1

Considere la secuencia de números enteros con un número impar de dígitos decimales.

Answer 2

Sí. Empezar con $1$. Entonces omitir suficientes números enteros para reducir la proporción por debajo de$\frac{1}2$. Entonces incluir suficientes números enteros consecutivos para aumentar la relación anterior$1-\frac{1}3$. Entonces omitir suficiente para reducirlo por debajo$\frac{1}4$. A continuación, incluir suficiente para aumentar por encima de$1-\frac{1}5$. Sigue adelante.