¿Cuál es el subesquema cero de una sección

Question

Deje $X$ ser un esquema, $\mathcal F$ localmente libre gavilla de rango $r$ $s \in \Gamma(X, \mathcal F)$ una sección global de $\mathcal F$.

Pregunta: ¿Qué es el cero subscheme de $s$?

No puedo creer que se vierte a través de Hartshorne no se ha convertido a una definición de este. Debe ser algo de subscheme de $X$. La única cosa que puedo pensar es el conjunto de puntos de $x \in X$ donde $s$ $0$ en el tallo $\mathcal F_x$, es decir, el complemento del apoyo de $s$. Pero que haría que el cero subscheme de $s$ abierto y que no tiene sentido porque en lo que estoy leyendo hay una hipótesis de que la $s$ es una sección regular, y que esto tiene algo que ver con el codimension de la cero esquema en $X$ (a la que siempre se $0$ si el cero esquema estaban abiertas). Lo que me lleva a la pregunta $2$:

Pregunta 2: ¿Qué es una sección regular? Es una sección cuyo cero subscheme es regular? La causa de que sería genial si fuera verdad.

Answer 1

Tienes razón, el cero esquema de una sección no es el complemento de la asistencia. En otras palabras, la condición no es "$s_x=0$$\mathcal F_x$", sino "$s(x)=0$". Para responder a su pregunta, he de hacer sentido de la última expresión.

A nivel local en torno $x$, una sección de $s\in \Gamma(X,\mathcal F)$ es representado por un $r$-tupla de funciones regulares (holomorphic, si usted trabaja en la categoría de los complejos colectores) $$f_1,\dots,f_r:U\to \mathbb A^1,$$ for some open neighborhood $U\subconjunto X$ of $x$. (After all, to say that $\mathcal F$ is a locally free sheaf of rank $r$ boils down to saying that locally around every point there is a trivializing open set, namely some $U\subconjunto X$ as above such that $\mathcal F|_U\cong \mathscr O_X^r|_U$; hence $s$ corresponds to a certain $r$tupla de funciones regulares en virtud de esta banalización.)

Para tales funciones $f_i$, tiene sentido preguntar si o no $f_i(x)=0$. Si esta última condición se cumple para $i=1,\dots,r$, entonces decimos que la $s(x)=0$ (y esto no depende de el abra vecindario $U$. El locus de tal $x$'s es cerrado.

Por último, una sección de $s$ se llama regular si el codimension de su cero esquema de $Z(s)\subset X$ dentro $X$ es el esperado, es decir, si $$\textrm{codim}(Z(s),X)=r.$$ Esto es equivalente, de manera algebraica, a $(f_1,\dots,f_r)$ ser una secuencia regular en el ring $\mathscr O_X(U)$.

Answer 2

Deje $V$ ser el espacio total de $\mathcal{F}$, es decir, el espectro mundial de la quasicoherent gavilla de álgebras de $\text{Sym}(\mathcal{F}^{\vee})$. Hay una natural proyección de $V \to X$. A continuación, una sección global de $\mathcal{F}$ puede ser considerado como una de morfismos $s : X \to V$ de manera tal que la composición de la $X \to V \to X$ es la identidad en $X$ (literalmente, una sección de la proyección). En particular, los morfismos $s : X \to V$ es un cerrado de incrustación. Deje $Z \subset V$ ser la imagen de la sección cero de $\mathcal{F}$: a continuación, el cero subscheme de $s \in \Gamma(X,\mathcal{F})$ es el esquema de la teoría de la preimagen de $Z$ por los morfismos $s : X \to V$.

Edit: Escribir $Z(s) = s^{-1}(Z)$ cero subscheme de $s$. Yo reclamo que Brenin la definición que da el subyacente (cerrado) conjunto de $Z(s)$, lo que determina la máxima reducción de subscheme de $Z(s)$, pero no el subscheme $Z(s)$ sí. Estamos tratando de probar que los dos subconjuntos de a $X$ son iguales, que es, obviamente, un local en cuestión, de modo que podemos reemplazar $X$ por la apertura de un subconjunto donde $\mathcal{F}$ es trivial y $X = \text{Spec } A$ es afín. Deje $M = \Gamma(X,\mathcal{F})$ $A$- módulo correspondiente a $\mathcal{F}$ y elija una $A$base $m_1,\cdots,m_r \in M$. Entonces nuestra sección dada $s \in M$ puede ser escrito $s = f_1m_1 + \cdots f_rm_r$ algunos $f_1,\cdots,f_r \in A$. Yo voy a dejar a usted para comprobar que el ideal de $I$ $Z(s)$ es generado por el $f_i$ (esto es una cuestión de desentrañar las definiciones). Pero Brenin la fuga conjunto se define como el subconjunto de $X$ cuando la $f_i$ desaparecen, es decir, el subconjunto cerrado correspondiente a $I$.