Derivado de $x|x|$

Question

Estoy tratando de encontrar la derivada de $f(x)=x|x|$ el uso de la defition de derivados. Para $x > 0$ me encontré con que $f'(x)=2x$ $x<0$ la derivada es $f'(x)=-2x$. Todo está bien hasta aquí. Ahora quiero comprobar lo que sucede cuando a $x=0$.

Por cierto, sé que $|x|$ no es diferenciable en a $x=0$.

Así que estoy comprobando la izquierda y a la derecha de los límites de $f$ al $x$ enfoques $0$.

• $\lim_{x \to 0^-}\cfrac{x|x|}{x} = \lim_{x \to 0^-}\cfrac{x(-x)}{x}=\lim_{x \to 0^-}\cfrac{(-x)}{1} = -0? = 0. $

• $\lim_{x \to 0^+}\cfrac{x|x|}{x} = \lim_{x \to 0^4}\cfrac{x(x)}{x}=\lim_{x \to 0^+}\cfrac{(x)}{1} = 0. $

Creo que el $f$ no es diferenciable en a $x=0$ desde $|x|$ no es diferenciable en ese punto. Así que , ¿qué hago mal?

Debo escribir algo como $\lim_{x \to 0^-}\cfrac{x|x|}{x} = -0^{-}$$\lim_{x \to 0^+}\cfrac{x|x|}{x} =0^{+}$, de modo que $f'$ no existe en $x=0$?

Answer 1

Usted no hizo nada malo. Su calculada derivada es $$g(x)=\begin{cases}-2x & x<0\\ 2x & x>0 \\ 0& x=0\end{cases}$$

que es una función continua, por lo $f$ si diferenciable.

Lo que sucede aquí es que el hecho de que el cero de una función ($x \mapsto x$) suaviza la undifferentiable punto de la otra función ($x \mapsto |x|$).

Más generalmente, si $h_1(x_0)=0$ $h_2$ es continua en un barrio de $x_0$, entonces siempre $\lim_{x\rightarrow x_0}h_1(x)\cdot h_2(x)=0$, es decir, no importa cómo desmanes $h_2$$x_0$. Finalmente tenga en cuenta que $x \mapsto |x|$ es continuamente differentialble en cualquier intervalo que no incluye a $x=0$.

Answer 2

No hiciste nada mal, de hecho demostrado que$f$ es diferenciable en$x = 0$ y$f'(0) = 0$. El hecho de que$x \mapsto |x|$ no es diferenciable en$x = 0$ no quiere decir que si se tiene en cuenta el producto de esta función con otra función, entonces el resultado no será diferenciable en$x = 0$, mientras acaban de muestra.

Sin embargo, ya que han demostrado que$f'(x) = 2|x|$ se puede ver que$f$ no es dos veces diferenciable en$x = 0$.

Answer 3

\begin{eqnarray} g^\prime(x)&=&\lim_{h\to0}\frac{(x+h)\vert x+h\vert-x\vert x\vert}{h}\\ &=&\lim_{h\to0}\frac{(x+h)\vert x+h\vert-x\vert x\vert}{h}\cdot\frac{(x+h)\vert x+h\vert+x\vert x\vert}{(x+h)\vert x+h\vert+x\vert x\vert}\\ &=&\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^4-x^4}{h((x+h)\vert x+h\vert+x\vert x\vert)}\\ &=&\lim_{h\to0}\frac{4x^3+6x^2h+4xh^2+h^3}{(x+h)\vert x+h\vert+x\vert x\vert}\\ &=&\frac{4x^3}{2x\vert x\vert}\\ &=&\frac{2x^2}{\vert x\vert}\\ &=&2x\cdot\frac{\vert x\vert}{x} \end {} Eqnarray

Answer 4

Para obtener más información, tiene el siguiente teorema que se puede utilizar

Deje$I$ sea un intervalo,$a\in I$. Si una función$f$ es continua en$I$, tiene una derivada en$I\smallsetminus\{a\}$ y si$f'(x)$ tiene un límite en$a$, entonces$f $ tiene un derivado en$a$, y$$f'(a)=\lim_{x\to a}f'(x).$ $