¿Tiene fieles funtor aditivo entre las categorías abelianas refleje la secuencia exacta corta?

Question

Deje$\mathcal A$,$\mathcal A\prime$ sea dos categorías abelianas y$F:\mathcal A\to\mathcal A\prime$ un funtor aditivo. Mi pregunta es:

supongamos que F es fiel, podemos deducir que$F$ refleja secuencias exactas cortas?

Lo que puedo asegurar es que este es el caso cuando$F$ es exacta, ya sea izquierda o derecha exacta.

Answer 1

Esto es suficiente para mostrar que $F$ refleja los núcleos, a partir de entonces doblemente también reflejará cokernels y $0\to A\to B\to C\to 0$ es exacta iff $A\to B$ es el núcleo de $B\to C$ $B\to C$ es el cokernel de $A\to B$.

Así que supongamos que tenemos $$A\stackrel{f}{\to}B\stackrel{g}{\to} C$$ in $\mathcal{A}$ such that $F(f)$ is a kernel of $F(g)$. Let $h:K\to B$ be a kernel of $g$. Since $F(gf)=0$ and $F$ is faithful, $gf=0$, so there is a unique $i:\a K$ such that $f=hola$. We wish to show $i$ es un isomorfismo.

Desde $F(f)$ es un núcleo de $F(g)$, no hay una única $j:F(K)\to F(A)$ tal que $F(h)=F(f)j$. Tenga en cuenta que $$F(f)jF(i)=F(h)F(i)=F(f),$$ so $jF(i)=1_{F(Un)}$ since $F(f)$ is monic. It follows that $F(i)$ is monic, and hence $i$ is monic as well since $F$ es fiel.

Ahora vamos a $p:K\to K/A$ ser un cokernel de $i$ $q:B\to B/A$ ser un cokernel de $f$. El mapa de $h:K\to B$ da un único mapa $h':K/A\to B/A$ tal que $h'p=qh$, e $h'$ es monic porque $h$ es monic. Ahora tenga en cuenta que $$F(h'p)=F(qh)=F(q)F(f)j=0.$$ Thus $h p=0$, so $p=0$ since $h'$ is monic. But $p$ was a cokernel of $i$, so this means $i$ es épico.

Por lo tanto $i$ es épico y monic, así que es un isomorfismo. De ello se desprende que $f$ es un núcleo de $g$, e $F$ refleja los núcleos.