Hoja de ruta para el aprendizaje de la geometría algebraica

Question

Desgraciadamente esta pregunta es relativamente general, y además tiene asociadas un montón de subpreguntas y ramas; sin embargo, sospecho que otros estudiantes se preguntan lo mismo, por lo que espero que pueda ser útil también para otras personas. Estoy interesado en aprender en profundidad geometría algebraica moderna al estilo Grothendieck. Estoy familiarizado con las variedades clásicas, los esquemas y la cohomología de gavillas (a través de Hartshorne y una buena parte de EGA I), pero me gustaría adentrarme en algunas de las cosas modernas más sofisticadas, como las pilas, la cohomología de étale, la teoría de intersecciones, los espacios de moduli, etc. Sin embargo, hay una gran cantidad de material que entender antes de llegar allí, y parece haber un gran salto entre cada par de fuentes. Parece que Bourbaki no se acercó a la geometría algebraica.

Así que, ¿alguien tiene alguna sugerencia sobre cómo abordar un tema tan amplio, referencias para leer (incluyendo la motivación, ¡preferiblemente!), o consejos sobre en qué orden se debe aprender el material en última instancia - incluyendo los requisitos previos? ¿Existe en última instancia una fase de "la geometría algebraica apesta" para todo aspirante a geómetra algebraico, como Harrison sugirió en estos foros para el álgebra pura, que sólo la (enorme) persistencia puede superar?

Answer 1

FGA Explicó. Artículos por un grupo de personas, la mayoría de ellos gratuitos en línea. Usted tiene Vistoli explicar lo que una Pila, con el Descenso de la Teoría, Nitsure la construcción de Hilbert y Quot esquemas, con interesantes casos especiales examinado por Fantechi y Goettsche, Illusie haciendo formal de la geometría y Kleiman hablando de la Picard esquema.

Para la intersección de la teoría, en la segunda Fulton del libro.

Y para más información sobre el esquema de Hilbert (y Chow variedades, para el caso) que me gusta bastante el primer capítulo de Kollar "Racional Curvas Algebraicas Variedades", a pesar de que hace referencia a un par de teoremas en Mumfords "Curvas en Superficies" para hacer la construcción.

Y en la "geometría algebraica chupa", nunca se me pasó de golpe, pero luego he estado tomando las cosas por etapas para un rato y no preocuparse demasiado acerca de la obtención de una adecuada, sólida formación en cualquier bit de cosas técnicas, hasta que realmente lo necesitan, y cuando hago cualquier cosa, siempre me acaba de caer de nuevo a centrarse en las variedades más C para asegurarse de que sé lo que está pasando.

EDIT: Olvidé mencionar, Gelfand, Kapranov, Zelevinsky "Discriminantes, como resultado y multidimensional de los factores determinantes", cubre mucho terreno, muy concretamente, incluyendo Chow variedades y algunos tóricas de cosas, si mal no recuerdo a la derecha (no lo tengo delante de mí)

Answer 2

Lectura concentrada sobre cualquier tema-especialmente una en la geometría algebraica, donde hay mucho de la técnica es casi imposible, al menos para la gente con mi impaciente idiosincrasia. Es mucho más fácil proceder de la siguiente manera.

1. Pregunte a un experto para explicar un tema, las ideas principales, lo que es, y los principales teoremas. Mantener diligente notas de las conversaciones.
2. Tratar de demostrar los teoremas en tus notas o encontrar un juguete analógica que exhibe algunas de las principales ideas de la teoría y de tratar de probar que los principales teoremas de allí, se va a fallar terriblemente, lo más probable.
3. Una vez que usted ha fallado bastante, vaya de nuevo a los expertos, y pedir una referencia.
4. Abra la referencia en la página de la más importante teorema, y empezar a leer.
5. Cada vez que encuentre una palabra que no entiendes o un teorema que usted no sabe acerca, mira hacia arriba y tratar de entenderlo, pero no leer demasiado. En esta etapa, ayuda a tener una tabla de contenidos de FGA explicó-EGA-SGA donde puede buscar rápidamente palabras desconocidas. Mantener diligente notas de su progreso, y hable con su experto tanto como sea posible. A continuación, vaya al paso 2.

Un ejemplo de un tema que se presta para este tipo de estudio independiente es abelian esquemas, donde algunos de los principales temas son (con referencias entre paréntesis):

1. la rigidez lema (Mumford, Geométricas invariantes teoría, Capítulo 6),
2. el teorema de el cubo (Raynaud, Faisceaux ejemplos sur les schémas...),
3. la construcción de la doble abelian esquema (Faltings-Chai, la Degeneración de abelian variedades, Capítulo 1),
4. preguntas de projectivity (Raynaud, Faisceaux ejemplos sur les esquemas...),
5. Lang-Néron y teorema de $K/k$ trazas (Brian Conrad notas).
6. la prueba de que abelian esquemas de montar en una expresión algebraica de la pila (Mumford, Geométricas invariantes teoría, Capítulo 7),
7. compactifications de la pila de abelian esquemas (Faltings-Chai, la Degeneración de abelian variedades; Olsson, Canónica compactifications...; Kato y Usui, Classidying espacios de degenerar polarizada estructuras de Hodge.)

Usted puede divertirse en el trabajo fuera de los primeros temas sobre sobre una base arbitraria. Eso es suficiente para mantenerlo en el trabajo por un par de años!

Una brillante epítome de la SGA 3 y Gabriel-Demazure es Sancho de Salas, Grupos algebraicos y teoria de invariantes. Se explica la teoría general de la algebraica de los grupos, y la representación general de la teoría reductora de los grupos a través de un lenguaje moderno: esquemas, fppf descenso, etc., en sólo 400 quatro páginas de tamaño!

Answer 3

Necesito ir a la vez, así que voy a poner un enlace aquí y agregar algunos comentarios más adelante. O alguien más lo hará. Las Pilas de Proyecto - casi 1500 páginas de la geometría algebraica de las categorías a las pilas.

Answer 4

He encontrado que este artículo "las Pilas para todo el mundo" fue divertido leer (mira en el título!), y siempre la motivación a través del ejemplo del vector de paquetes en un espacio, aunque no vaya profunda: http://www.cgtp.duke.edu/~/drm PCMI2001/fantechi las pilas.pdf

Como para cosas como étale cohomology, los consejos que he visto es que es mejor tratar las cosas como que como una caja negra (como la Lefschetz teorema de punto fijo y los diversos comparación teoremas) y para aprender los fundamentos más tarde, pues de lo contrario uno realmente podría pasar demasiado tiempo en los detalles y nunca tener una idea de lo que el punto es. Me ha convertido en un gran fan de este estilo de aprendizaje, ya que pueden llegar a ser realmente aburrido de leer cientos de páginas de pruebas técnicas.

Answer 5

Aquí está un pronto-a-ser-libro por Behrend, Fulton, Kresch, ideal para aprender las pilas: http://www.math.uzh.ch/index.php?pr_vo_det&key1=1287&key2=580&no_cache=1