Factor primo de un entero compuesto de tres cifras

Question

P: ¿Cuál es el mayor factor primo posible de un número entero compuesto de tres cifras?

R: El mayor $3$ -dígito es $999$ y $\sqrt {999}=31.61....$ y el mayor factor primo menor que éste es $31$ .

Lo anterior es un ejemplo que se muestra en el libro de texto de matemáticas discretas bajo el teorema

Si $n$ es compuesto, entonces $n$ tiene un divisor primo $p$ tal que $p\le \sqrt n$ .

He comprobado que esta pregunta no tiene fundamento. Digamos que $37$ . Básicamente es uno de los factores principales de $740$ . Así que la respuesta proporcionada es incorrecta. ¿Estoy en lo cierto? Creo que la respuesta debería ser $499$ .

Answer 1

O bien la pregunta que se le ha formulado es errónea, o bien la ha copiado incorrectamente. Asumo que se trata de lo primero y no de lo segundo.

Recuerda que el 2 también es un número primo. Así que si $n = 2p$ con $p$ un número primo, entonces, para un número suficientemente grande $n > 4$ veríamos que 2 es mucho más pequeño que $\sqrt n$ y $p$ es mucho mayor.

El $n$ que buscamos es mucho mayor que 99 pero ciertamente menor que 1000. Vemos que $999 = 3^3 \times 37$ pero $998 = 2 \times 499$ . Tenemos $\sqrt{998} \approx 31.5911$ y el menor factor primo, 2, es efectivamente menor que 31. Pero 499 es ciertamente mayor que 32.

Así que tienes razón: tal y como tienes la pregunta, la respuesta correcta es efectivamente 499.

Sólo para estar absolutamente seguros: ¿podría ser la respuesta 503? No, porque $2 \times 503 = 1006$ que tiene cuatro dígitos.

Answer 2

Si la pregunta es:

¿Cuál es la mayor cantidad posible de mínimo ¿factor primo de un número entero compuesto de tres cifras?

(o algo similar) entonces la respuesta que da el libro, $31$ es correcto, porque cualquier número compuesto debe tener un factor menor o igual que su raíz cuadrada.

Por lo demás, como ya se ha observado, un número de la forma $2p$ con $p$ primo te dará el mayor factor primo de un compuesto, en este caso $499$ .