Un cierto tipo de mapeo no lineal de $\mathbb{R}^2$ $\mathbb{R}^2$

Question

Dar un ejemplo de un mapa $T:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2$ con ambas de las siguientes propiedades:

a. $T(kx)=kT(x)$ % todo $x\in \mathbb{R}^2, k\in \mathbb{R}$

b. $T$ no puede ser una transformación lineal

Realmente estoy atrapado en esto. Sólo puedo encontrar matrices que no son transformaciones lineales y no cumplan la primera condición, o son transformaciones lineales y cumplen la primera condición. No estoy seguro de cómo hacerlo.

Answer 1

ps

Answer 2

Basado en la estrategia de Doug M, aquí es simétrica:

$$T(x,y) = \left((x^3+y^3)^\frac{1}{3},(x^3+y^3)^\frac{1}{3}\right)$$

O, con la misma idea, una aún más simple:

$$T(x,y) = \left((x^3+y^3)^\frac{1}{3}\,,\,0\right)$$

Aún con la misma idea, pero prescindiendo de simetría, aquí es una biyectiva uno:

$$T(x,y) = \left((x^3+y^3)^\frac{1}{3},(x^3-y^3)^\frac{1}{3}\right)$$

Answer 3

¿Qué acerca de

$f(x,y) = \begin{cases} (0,0) & x \ne 0 \\ (x,y) & x = 0\end{cases}\\$

Conceptualmente, la condición se requiere que si nos restringimos $f$ a cualquier línea a través del origen, es lineal. Puesto que cada una de esas líneas sólo se superpone en el origen, podemos construir $f$ fácilmente mediante la construcción de su valor en cada una de esas líneas una por una.

En este caso, elegimos $f$ a ser cero en cada línea, excepto en el eje y. En el eje y, que sólo se parece a la función identidad. La función construido de esta manera no es lineal debido a que su valor en el eje y no "de acuerdo" con su valor en todas partes. Si tratamos de comprobar si la ley de la linealidad se aplica, comprobamos que los dos puntos de $p_1, p_2$, y comprobar que

$f(p_1 + p_2) = f(p_1) + f(p_2)$

Ahora, si ambos $p_1$ $p_2$ están en el eje y, de ellos o ambos son no en el eje y, esta igualdad se mantenga. Sin embargo, si uno de ellos está en el eje y, y la otra no, tendremos problemas. Por ejemplo:

$p_1 = (1,0)$ $p_2 = (1,1)$ $f(p_1+p_2) = f(2,1) = (0,0)$ $f(p_1) + f(p_2) = (1,0) + (0,0) = (1,0)$

En general, se puede ver que hay infinitamente muchas maneras en que podemos elegir diferentes funciones lineales en todas las líneas a través del origen y "armar" una novela de f que viole las restricciones, incluso una continua ni derivable uno, como otras personas lo han demostrado.

Answer 4

$f(x,y) = \begin{cases} \frac {x^2}{y} & y\ne 0 \\ 0 & y = 0\end{casos} \\ f(kx,ky) = $ kf(x,y)

Aquí tenemos un mapa no lineal de $\mathbb R^2 \to \mathbb R$

encontrar ahora un $g(x,y)$ a lo largo de líneas similares (o incluso un % lineal $g(x)$en este punto).

y $h(x,y) = f(x,y),g(x,y)$ a hacer lo que usted necesita.

Answer 5

Generalmente, cualquier función de la forma $$ f (x) = \left (x_1 g\left (\frac {x_2} {x_1} \right), h\left(\frac{x_2}{x_1}\right)\right) x_1 $$ esto funciona porque $kx_2/kx_1=x_2/x_1$

Tenga en cuenta que el valor en $x=(0,a)$ debe ser tomado como el límite de $x_1\to 0$ siempre que sea posible.