Construcción de una función convexa con prescrito hessianos en dos puntos dados

Question

¿Dadas dos matrices definidas positivas $A, B \in \Bbb R^{n \times n}$, hay una forma de construir una función convexa $f: \Bbb R^n \to \Bbb R$ tal que $$\nabla^2f(x)=A \qquad \text{and} \qquad \nabla^2f(y)=B$$ for two distinct $x, y \in \Bbb R ^ n $ (say $x = 0_n $, $y = $1_n)?

He probado a los sospechosos de siempre (cosas con cuadráticas, exponenciales, etcetera) sin ir a cualquier lado.

Answer 1

Tratemos de construir un ejemplo explícitamente como $h(x)=f(g(x))$ donde$f\colon\Bbb R\to\Bbb R$$g\colon\Bbb R^n\to\Bbb R$. La Arpillera de $h$ es $$ \nabla^2 h(x)=f"(a g(x))\nabla g(x)\nabla g(x)^T+f'(g(x))\nabla^2 g(x).\la etiqueta{1} $$ 1. Definir para $T>0$ la función $$ f_T(t)=\begin{cases}\frac{t^2}{T}-\frac{t^3}{3T^2}, & t\le T\\ t-\frac{T}{3}, & t>T.\end{casos} $$ Es sencillo comprobar que $f_T\in C^2$, convexo y el aumento de $t\ge 0$. Además, $$ f_T'(0)=0,\quad f_T"(T)=0,\quad f_T'(T)=1.\la etiqueta{2} $$ 2. Definir $g(x)=\frac12(x-a)^TB(x-a)$ fijos $a\in\Bbb R^n$ y una positiva definida $B$. Tenemos $$ \nabla g(x)=B(x-a),\quad\nabla^2 g(x)=B.\etiqueta{3} $$ 3. Set $T=g(b)$ fijo $b\in\Bbb R^n$, $b\ne a$. A continuación, $T>0$ $h_1(x)=f_{g(b)}(g(x))$ es convexa (como una composición de convexo no negativo $g$ con convexo y el aumento de la no-argumentos negativos $f$). Por otra parte, de (1)-(3) tenemos $$ \nabla^2 h_1(a)=f"(0)\cdot 0+0\cdot B=0,\quad \nabla^2 h_1(b)=0\cdot\nabla g(b)\nabla g(b)^T+1\cdot B=B. $$ 4. Del mismo modo podemos construir $h_2(x)$ con $$ \nabla^2 h_2(b)=0,\quad\nabla^2 h_2(a)=A $$ y tome $h=h_1+h_2$.

Answer 2

Deje $M$ ser un número positivo para ser elegido más tarde. Para $z\in\mathbb{R}^n$, definir $$f_1(z) = \frac12 \langle Az,z-x\rangle + M\langle z-x, x-y\rangle$$ y
$$f_2(z) = \frac12 \langle Bz,z-y\rangle + M\langle z-y, y-x\rangle$$
Tenga en cuenta que$\nabla^2 f_1\equiv A$$\nabla^2 f_2\equiv B$; también, $f_1(x)=0$$f_2(y)=0$. Elija $M$ lo suficientemente grande como para que $f_1(y)<0$$f_2(x)<0$; esto es posible porque el término multiplicado por $M$ es negativa en ambos casos.

Deje $f=\max(f_1,f_2)$. Esta es una función convexa cuya Hess es $A$ donde $f_1>f_2$, y es $B$ donde $f_1<f_2$. Las desigualdades $f_1>f_2$ $f_1<f_2$ determinar discontinuo abrir conjuntos de $U,V$ que contengan $x$$y$, respectivamente.

Si una función suave es deseado, de convolución $f$, con una forma compacta compatible suave protuberancia $\phi$. Cuando el diámetro de $\operatorname{supp}\phi$ es menor que $$\min(\operatorname{dist}(x, \partial U), \operatorname{dist}(y, \partial V))$$ the Hessian at $x$ will remain $$ because in a neighborhood of $x$, $$\nabla^2 (f*\phi) = \nabla^2 (f_1*\phi) = (\nabla^2 f_1)*\phi=A$$ Mismo para $y$.