Aquí en StackExchange he leído un montón de preguntas interesantes y respuestas acerca de las ecuaciones funcionales, por ejemplo, una lista de propiedades y vínculos a las preguntas que se Resumen de datos básicos acerca de Cauchy funcional de la ecuación.
Estoy interesado en el siguiente problema: si $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ es una función continua verificación de la funcional de la ecuación de $f(x+y)=f(x)f(y), \ \forall x,y\in \mathbb{R}$, encontrar su no idéntica a cero utilizando la solución de alimentación de la serie.
Mi intento hasta el momento el uso de energía de la serie:
vamos
$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} \, x^{n}$$
así
$$f(y) = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} \, y^{n} $$
y
$$f(x+y) = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} \, (x+y)^{n}$$
El funcional de la ecuación de $f(x+y)=f(x)f(y)$ conduce a $$\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} \, (x+y)^{n}=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} \, x^{n}\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} \, y^{n}$$
Usando el teorema del binomio
$$(x+y)^{n} = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^ky^{n-k}$$
y el producto de Cauchy de la serie
$$\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} \, x^{n}\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} \, y^{n} = \sum_{n=0}^{\infty}(\sum_{k=0}^n a_k a_{n-k}x^k y^{n-k})$$
sigue
$$\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^ky^{n-k})=\sum_{n=0}^{\infty}(\sum_{k=0}^n a_k a_{n-k}x^k y^{n-k})$$
$$\sum_{n=0}^{\infty}(\sum_{k=0}^{n} a_{n} \binom{n}{k}x^ky^{n-k})=\sum_{n=0}^{\infty}(\sum_{k=0}^n a_k a_{n-k}x^k y^{n-k})$$
Ahora tengo que igualar los coeficientes: $$\forall n\in\mathbb N, \;\;\;\; \; a_{n} \binom{n}{k} = a_k a_{n-k} \;\; \textrm{for } k= 0,1,...,n $$
La primera ecuación, por $n=0$ $a_0=a_0a_0$ $a_0(a_0-1)=0$ con soluciones de $a_0=0$$a_0=1$. Si $a_0=0$ cada coeficiente será igual a cero, por lo que hemos encontrado el primer término de potencia de la serie: $a_0=1$.
Ahora el problema es determinar el resto de los coeficientes. He intentado, pero es demasiado difícil para mí.
