Encontrar el cardinalidad de un conjunto dado una conjunto propiedad.

Question

Supongamos que un conjunto de $B$ tiene la propiedad de que $|{X:X \in P(B), |X| = 6}| = 28$. Encontrar $|B|$

Mi solución a este problema es la siguiente:

Sabemos que tenemos que $28$ subconjuntos de a $B$ $6$ elementos de cada uno, así que podemos escribir la $\frac{n!}{(n-6)!6!} = 28$.

Nos damos cuenta de que $28=4*7$. Nos movemos $6!$ a el otro lado así que ahora tenemos $(2*3*4*5*6)*(4*7) = \frac{n!}{(n-6)!}$. Esto significa que $3*4*5*6*7*8 = n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)$. De ello se desprende que $n = 8$, lo $|B| = 8$.

Pregunta: ¿esta solución Es correcta y una buena manera de ir sobre este problema? Hay otra manera de pensar acerca de este problema?

Mención: Este problema viene de El Libro de la Prueba (Sección 3.3 el problema 4)

Answer 1

Su enfoque es metódico y bien razonada.   Es exactamente lo que usted necesita hacer.

Además, si $\lvert B\rvert = 8$, entonces el número de subconjuntos de tamaño 6 $\dfrac{8!}{2!~6!}$ o $28$, como sea necesario.

Por lo que su solución chequea bien, demasiado.

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PD: Hay una otra solución numérica, pero es $n=-7$ así que falla una prueba de realidad.

Answer 2

Sí, usted ha identificado correctamente la ecuación de $n!/6!(n-6)!=28$ es la ecuación a resolver. Tu planteamiento parece bastante eficiente (supongo que te das cuenta de que debe asumir que $n\ge 0$ en el último paso).

Otro enfoque sería Observe que la ecuación requiere $n\ge 6$ y tenga en cuenta que $n!/6!(n-6)!$ va en aumento con $n$ y luego probar con diferentes $n$s. Al llegar a valores de $n=8$ encontrar a un partido y saber que se puede detener allí como superior de $n$ dará como resultado mayor LHS.