Subgrupo del grupo libre sobre 3 generadores

Question

Tengo una pregunta sobre un subgrupo del grupo libre sobre tres generadores, inspirada en el siguiente acertijo:

¿Puedes colgar un cuadro utilizando una cuerda y dos clavos de forma que si se quita uno de los clavos, el cuadro se caiga? [Esto ya se ha mencionado antes en la pila: véase esta entrada para una solución y discusión].

En resumen, esta pregunta equivale a preguntar si existe un elemento del grupo libre sobre $a$ y $b$ cuya imagen bajo cualquiera de los dos mapas cociente $a \mapsto 1$ o $b \mapsto 1$ da como resultado el elemento de identidad. (Estoy pensando en el grupo libre sobre dos generadores como el grupo fundamental del plano menos dos puntos; cada generador corresponde a envolver la cuerda alrededor de uno de los clavos). El conmutador $[a,b] = aba^{-1}b^{-1}$ es la solución más sencilla: el conjunto de elementos que funcionan es (creo) exactamente el subgrupo conmutador de $\mathbb{Z} * \mathbb{Z}$ .

Quiero saber sobre la pregunta análoga para el grupo libre sobre $a,b$ y $c$ : si $f_a, f_b$ y $f_c$ denotan los cocientes por los generadores $a,b$ y $c$ respectivamente, entonces ¿cuál es la intersección $H$ de los núcleos de $f_a, f_b$ y $f_c$ ?

$H$ es un subgrupo normal de $\mathbb{Z} * \mathbb{Z} * \mathbb{Z}$ ya que la intersección de subgrupos normales es normal, y no es trivial: un elemento que funciona es $[a,b]c[a,b]^{-1}c^{-1}$ . ¿Existe una buena caracterización de este subgrupo como en el caso con dos generadores?

Este tiene un montón de resultados interesantes sobre este tipo de preguntas, aunque su trabajo trata sobre todo de encontrar la palabra de menor longitud que satisfaga la condición de la que estoy hablando. Por lo que puedo ver, no discuten una caracterización de todos soluciones a los enigmas de pintura.

Si podemos encontrar una solución para el grupo libre sobre tres generadores, tal vez podamos generalizar: dejemos que $H_k^n$ sea la intersección de los núcleos de todos los mapas cociente del grupo libre sobre $n$ generadores por cualquier $k$ generadores. (Así $H_1^3$ es sobre lo que he preguntado más arriba). ¿Existe una caracterización sencilla de los elementos en $H_k^n$ similar a $H_1^2$ siendo el subgrupo conmutador de $\mathbb{Z} * \mathbb{Z}$ ?

Answer 1

Llamemos a una expresión de la forma $[[x,y],z]$ un conmutador doble, una expresión de la forma $[[[x,y],z],t]$ un conmutador triple, etc.

En el grupo libre de $a_1,a_2,\ldots, a_n$ , a $n-1$ -comutador de la forma $[\ldots[[[x_1,x_2],x_3],x_4] \ldots,x_n]$ donde cada $x_k$ es un conjugado de una potencia no trivial de $a_k$ está claramente en $H_1^n$ así que llamémoslos bonito $n-1$ -comutadores.

Teorema. El subgrupo $H_1^n$ es exactamente el subgrupo generado por el bonito $n-1$ -comutadores.

El argumento es por inducción sobre $n\geq 2$ y me parece más conveniente empezar con el paso de inducción en lugar del caso base. Supongamos que el teorema es cierto para el rango $n-1$ . Utilizando la notación exponencial $b^a$ para denotar el conjugado $aba^{-1}$ necesitaremos dos identidades :

$$ \begin{array}{lcll} [x^{g},y^{g}] &=& [x,y]^{g} & (1) \\ [xy,z] &=& [y^x,z^x][x,z] & (2) \\ \end{array} $$

Obsérvese que (2) se generaliza a

$$ \Bigg[\bigg(\prod_{k=1}^n x_k\bigg),z\Bigg]=\prod_{k=1}^n [x_k^{x_1x_2\ldots x_{k-1}},z^{x_1x_2\ldots x_{k-1}}] \tag{3} $$

Por comodidad, pongamos $c=a_n$ . Definamos un conmutador intermedio como un conmutador de la forma $[h,z]$ donde $h\in H_1^{n-1}$ y $z$ es un conjugado de una potencia no trivial de $c$ . Entonces (3) combinado con la hipótesis de inducción muestra que cualquier conmutador intermedio es un producto de nice $n-1$ -comutadores. Así pues, bastará con demostrar que $H_1^n$ es generado por los conmutadores intermedios.

Denote por $F_k$ el subgrupo generado por $a_1,a_2,\ldots,a_k$ . Cualquier $w\in F_n$ se puede escribir

$$ w=u c^{i_1} d_1 c^{i_2} d_2 c^{i_3} d_3 \ldots d_{r-1}c^{i_r}v \tag{4} $$

donde $i_1,i_2,\ldots,i_r$ son enteros distintos de cero, $u,d_1,d_2,\ldots,d_{r-1},v\in F_{n-1}$ y ninguno de los $d_i$ es la identidad. Obsérvese que $w\not\in F_{n-1}$ si $r>1$ y en ese caso la descomposición (1) es única para $w$ . En cualquier caso, el $r$ en la descomposición es único, y lo llamamos el $c$ -longitud de $w$ . De esta unicidad se deduce que $w\in H_1^n$ si $\sum_{k}i_k=0$ (en particular $r\geq 2$ ), $uv$ y todos los $d_k$ están en $H_1^{n-1}$ y $ud_1d_2\ldots d_{r-1}v=e$ .

Tomemos ahora un $w\in H_1^{n-1}$ con $c$ -longitud $r\geq 2$ y demostremos que por inducción en $r$ que $w$ es un producto de conmutadores intermedios. De nuevo, prefiero tratar primero el paso de inducción. Descomponemos $w$ como en (4). Entonces $u=v^{-1}d_{r-1}^{-1}\ldots d_1^{-1}$ Así que $w=v^{-1}w'v$ donde $w'=d_{r-1}^{-1}\ldots d_1^{-1}c^{i_1} d_1 c^{i_2} d_2 c^{i_3} d_3 \ldots d_{r-1}c^{i_r}$ y bastará con demostrar que $w'$ es un producto de conmutadores intermedios. En otras palabras, sustituyendo $w$ con $w'$ podemos suponer que $v=e$ . Pero entonces $w=w''[d_{r-1}^{-1},c^{-i_r}]$ donde $w''$ es una palabra de $c$ -longitud $<r$ Así que hemos terminado. Este análisis también muestra que en el caso base $r=2$ , $w$ puede reescribirse como un único conmutador intermedio $[v^{-1}d_1^{-1}v,v^{-1}c^{i_1}v]$ . Con esto finaliza el paso de inducción sobre $n$ . El caso base $n=2$ es similar y más simple: el mismo argumento demuestra que $w$ es un producto de conmutadores intermedios, y para $n=2$ los conmutadores intermedios coinciden con nice $1$ - conmutadores. Con esto termina la demostración.