Para cualquier función polinómica genérica, parece que un punto de inflexión está siempre a medio camino entre el mínimo y el máximo más cercanos (si existen).
¿Hay alguna forma de demostrar que los puntos medios de los mínimos y máximos adyacentes son PDI? ¿O es posible que me falte un contraejemplo sencillo?
Seguramente sólo estás probando los cúbicos. Si tienes la función $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ los extremos locales vienen en las raíces de $3ax^2+2bx+c=0$ que son $\frac {-b\pm \sqrt{b^2-3ac}}{3a}$ . El punto medio de estos es $\frac {-b}{3a}$ . El punto de inflexión está en la raíz de $6ax+2b=0$ que es $\frac {-b}{3a}$
Si intentas con polinomios de mayor grado falla. Toma $f(x)=x^4-2x^2+1$ Los extremos están en las raíces de $4x^3-4x=0$ Así que en $0,\pm 1$ . Los puntos de inflexión están en las raíces de $12x^2-4=0$ que son $\pm \frac 1{\sqrt 3}$ no $\pm \frac12$
En general, no lo es.
$$x^4-2x^2$$ tiene un máximo en $x=0$ y un mínimo de $x=1$ y un punto de inflexión en $x=\dfrac1{\sqrt3}.$
Tener una inflexión descentrada equivale a tener un extremo descentrado entre dos raíces en la primera derivada, lo que también es muy posible.
Considere la función
$$y'(x)=(x-a)(x-b)(x-d).$$
Si tiene un extremo donde
$$(x-a)(x-b)+(x-a)(x-d)+(x-b)(x-d)=0.$$
Si queremos que esto ocurra en $x=c$ podemos establecer
$$d=c+\frac{(c-a)(c-b)}{2c-a-b}.$$
Así que la antiderivada de
$$(x-a)(x-b)\left(x-c-\frac{(c-a)(c-b)}{2c-a-b}\right)$$
tiene dos extremos y un punto de inflexión donde quiera (¡excepto en el centro!)
Esto es cierto para los polinomios cúbicos $p$ : Si $p$ tiene extremos locales, entonces la función cuadrática $p'$ tiene raíces y estas raíces son simétricas respecto a $x = r$ , donde $r$ es la raíz única de $p''$ (para que $(r, p(r))$ es un punto de inflexión). Por supuesto, la afirmación es vacía para los polinomios lineales y cuadráticos.
Por otro lado, la afirmación es en general falsa para polinomios de grado $> 3$ : Si un polinomio cuaternario tiene más de un extremo, tiene tres, y así $p'$ tiene tres raíces reales. Trasladando, dilatando y reflejando (todo lo cual preserva los puntos medios) podemos también suponer que $$p'(x) = x (x - r) (x - 1),$$ para que los extremos de $p$ se producen en $0, r, 1$ , donde $0 < r < 1$ . En los puntos medios $\frac{1}{2} r$ , $\frac{1}{2} (r + 1)$ de raíces consecutivas, calculamos que $$p''\left(\tfrac{1}{2}r\right) = -\tfrac{1}{4} r^2 \qquad \textrm{and} \qquad p''\left(\tfrac{1}{2}(r + 1)\right) = -\tfrac{1}{4} (1 - r)^2,$$ que por hipótesis nunca son cero, por lo que no son puntos de inflexión. Así, podemos concluir para los polinomios cuárticos que la afirmación nunca se mantiene (al menos en el caso no vacío, es decir, cuando el polinomio tiene múltiples extremos).
El simple ejemplo $p(x) = x^5 - x$ muestra que la afirmación puede ser válida para determinados polinomios quínticos, pero falla en general en el grado $5$ caso.
Creo que tu intuición viene de un polinomio cúbico, que cuando miras su derivada, los ceros de la derivada corresponden a los dos extremos locales del cúbico, y el punto de inflexión corresponde al extremo de la derivada, una cuadrática, que es efectivamente el punto medio entre las dos raíces porque una cuadrática es simétrica en su extremo. Sin embargo, los polinomios de mayor grado pueden sesgar esta simetría e impedir que el punto de inflexión se sitúe en el centro. Ya se han dado ejemplos.
Espero que eso ayude,
Es fácil demostrar que esto no puede ser así, sustituyendo $x=u^2$ . Es evidente que su polinomio sigue siendo un polinomio, aunque ahora sólo con potencias pares de $u$ . Esta sustitución no es lineal, por lo que un punto $x_{mid} = (x_a+x_b)/2$ no corresponden a $u_{mid} = (u_a+u_b)/2$ .
Así que si $x_{mid}$ es un punto de inflexión, entonces $u_{mid}$ no lo es, y viceversa. Y eso significa que hay al menos un polinomio para el que la afirmación no se cumple.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
