Si consideras los números (decimales) 10, 101, 1010, 10101... en los que se alternan el 1 y el 0, ¿cuál es el mayor número primo de la secuencia?
Gracias de antemano por su ayuda, se lo agradezco.
Está claro que el número no puede terminar en $0$ por lo que consideramos enteros de la forma $$k_n=1010101\cdots 01,$$ donde $k_n$ es de longitud $2n-1$ . Obsérvese que cada uno de estos enteros es de la forma $$k_n = \frac{10^{2n}-1}{99} = \frac{(10^{n}-1)(10^n + 1)}{99}.$$ Si $n=1$ entonces $k_1=1$ . Si $n=2$ entonces $k_2 = 101$ que es primo. Si $n>2$ y $n$ es par, entonces $$k_n = k_{n/2}(10^n+1),$$ para que $k_n$ es compuesto. Por último, si $n>2$ es impar, entonces $11\mid (10^n+1)$ y $9\mid (10^n - 1)$ para que de nuevo $k_n$ es compuesto. De ello se deduce que en esta secuencia, sólo $k_2 = 101$ es primo.
Escriba $k_n$ como $10^{2n-2} + 10^{2n-4} + 10^{2n-6} + \cdots + 1$ . Se trata de una suma geométrica en $10^2$ .
@ThreeOneFour La forma más sencilla es ver qué pasa si se multiplica $k_n$ por $99$ Hazlo con el algoritmo de papel y bolígrafo y verás lo que pasa (obtendrás un número de sólo nueves).
El único primo en esta secuencia es $101$ .
Como señaló @EuYu, para n, $k_{2n} = k_{n}(10^{2n}+1)$ es par. Esta igualdad se puede demostrar fácilmente considerando la multiplicación por $10^n$ como añadir $n$ ceros al final del número en base 10, y observando que $k_{2n}$ tiene $2n$ dígitos.
$k_{2 n + 1}$ es divisible por una cadena de $(2n+1)$ $1$ 's. Explícitamente, $$\left(\sum_{i=0}^{2n+1} 10^i \right)*\left(1+ \sum_{i=0}^{n} 10^{2 i}*90\right ) = k_{2 n + 1}$$
Algebraicamente se puede sacar esto (o tirarle a Wolfram), pero hay una buena manera de ver esto con lápiz y papel.
Mira $909091*1111111$ .
$90*1111111=99999990$ .
Añadiendo $1111111$ a esto "desbordará" el número a $101111101$ que es de la forma $10[1...1]01$
Ahora añada eso a $9999999000=9000*1111111$ .
Mira las sumas de dígitos de derecha a izquierda: los 3 últimos no cambian porque $10^3 | 9000$ , luego 10s hasta el primer 0 en $101111101$ .
Considerando el "1" transportado en cada paso, la suma es $1010[1...1]0101$ .
Proceder inductivamente, resultado = $1010101010101$ .
Creo que has entendido mal el argumento: porque 9 | (10^n - 1) y 11 | (10^n + 1), k_n es compuesto. ¿Se puede escribir 198 como un producto de tales términos? Para tu segundo argumento, no estoy seguro de por qué 909 no sería divisible por 9...
Por cierto, he comprobado y $k_5$ = 101010101 = (100001/11)*(99999/9) = 9091 * 1010 es definitivamente no primo. e/ Lo siento, no había visto tu respuesta... Si $9|a$ y $11|b$ entonces $c = a/9$ y $d = b/11$ son números enteros, por lo que $\frac{ab}{9*11} = cd$ es compuesto...
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Tiene que terminar en 1, y tiene que tener un número primo de unos (porque si tuviera $pq$ de los mismos, sería divisible por su subcadena de la primera $2p+1$ dígitos).
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¿A qué se refiere con la subcadena de los primeros 2p +1 dígitos?
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Ups, debería ser $2p-1$ . Me refiero al número "101010...1", con $p$ (y por lo tanto $2p-1$ dígitos)