Estaba tratando de calcular el siguiente límite:
$$ \lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{(x^2+y^2)^2}{x^2+y^4} $$
y, al ingresarlo en WolframAlpha, obtuve la siguiente respuesta, que indica que el límite es $0$: 
Sin embargo, cuando trato de calcular el límite cuando $x = 0$ y $y$ se aproxima a 0, el límite es 1...
¿Está equivocada la respuesta dada por WolframAlpha? ¿O lo estoy yo?
Este límite es un excelente ejemplo para ilustrar el poder de la prueba de (dos) caminos y aparentemente también un excelente ejemplo para ver que hay que tener mucho cuidado con cómo el software matemático maneja este tipo de problemas.
Sin embargo, cuando intento calcular el límite cuando x = 0 y y se acerca a 0, el límite es 1...
¿Está equivocado Wolfram? ¿o lo estoy yo?
Estás en lo correcto, ya que, como dices: $$\lim_{x \to 0} \left( \lim_{y \to 0} \frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{x^2+y^4} \right) =\lim_{x \to 0} x^2 =0 \quad \color{red}{\ne} \quad \lim_{y \to 0} \left( \lim_{x \to 0} \frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{x^2+y^4} \right) =\lim_{y \to 0} \frac{y^4}{y^4} =1$$
WolframpAlpha sí produce un gráfico decente donde se puede ver claramente la parábola $x^2$ cuando se establece $y=0$, pero también se puede ver la 'línea' a una altura de $1$ cuando se establece $x=0`.
Esto es solo para complementar la excelente respuesta de StackTD, quien muestra correctamente que tienes razón — el límite no existe (ya que se pueden encontrar dos caminos diferentes hacia el origen a lo largo de los cuales los límites de la función difieren). El mensaje clave es:
No intentes límites en más de una variable con Mathematica o WolframAlpha.
(en realidad, yo iría más lejos y sugeriría: No intentes límites en más de una variable real con Mathematica o WolframAlpha.)
Ver, por ejemplo, este hilo en Mathematica.SE que se adentra en explicar cómo posiblemente se puede intentar hacerlo — spoiler, es complicado. Citando un comentario de allí, por Jens:
Con
Limit, siempre estás restringido a una línea en el espacio mayor, y no puedes hacer afirmaciones sobre la existencia del límite en el sentido del espacio de mayor dimensión. Para eso, debes demostrar la independencia del resultado con respecto a la dirección de la línea. Si configuras intencionalmente una función para tener límites diferentes a lo largo de diferentes líneas, no veo qué más puedes hacer con Mathematica.
Se puede añadir que hay funciones para las cuales el límite en un punto no existe, incluso cuando los límites a lo largo de cada recta que pase por ese punto existen, y todos coinciden.
@MarcvanLeeuwen ¿Puede ocurrir incluso si requerimos que $f$ esté definida y continua en un disco perforado alrededor de $(0,0)$? Es decir, si $f:\{ (x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid 0 < x^2+y^2 < \epsilon^2\} \to \mathbb{R}$ es continua, ¿puede suceder que todos los límites a lo largo de líneas rectas que tienden hacia $(0,0)$ existan y coincidan, y aún así el límite bidimensional no exista?
@JeppeStigNielsen Sí, prueba $\def\R{\Bbb R}f:\R^2\to\R$ definida por $f(x,y)=g(\frac y{x^2})$ para $x\neq0$ y $f(0,y)=0$, donde $g:t\mapsto t\exp(-t^2)$ es una función que tiende a$~0$ para $t=0$ y $t\to\pm\infty$.
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En general nunca confíes tanto en ningún sistema de álgebra computacional, son muy limitados.
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"están tan limitados": ¿estás bromeando?
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@YvesDaoust Creo que la redacción correcta debería ser "No son mágicos, y usarlos sin conocer las suposiciones subyacentes o advertencias que los acompañan probablemente te causará algún problema en escenarios específicos." Los sistemas de álgebra computacional no engañan a la gente. La gente engaña a la gente.
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@ClementC.: En mi opinión, los SCA muy maduros como Mathematica son más confiables que el promedio de los matemáticos, sin contar su capacidad para realizar cálculos voluminosos sin cansarse. Incluyen una gran cultura matemática. (Pero también estoy completamente de acuerdo con tu comentario.)
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@YvesDaoust Estoy de acuerdo. Solo quería señalar que si alguien espera que los CAS sean oráculos mágicos omniscientes, ilimitados computacionalmente, bien, de hecho, se llevará una gran decepción. Pero prefiero confiar en ellos para muchas cosas en lugar de depender de mis propias habilidades.
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@ClementC.: según la documentación de Mathematica, no puedo adivinar si se admiten los límites de funciones de dos variables en absoluto. Pero si ese no fuera el caso, esperaría al menos un mensaje de advertencia...
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Relevante (para fines de indexación): mathematica.stackexchange.com/questions/25381/…
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@YvesDaoust Por lo que entiendo de este hilo, Mathematica hace límites de forma secuencial (implícitamente). Por lo tanto, no produce ningún mensaje, pero solo da la respuesta correcta cuando el límite es independiente del camino.
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@ClementC.: eso significaría que la respuesta de WA es correcta, pero responde silenciosamente a otra pregunta :-) (Por cierto, al especificar el orden de los límites, obtienes $0$ o $1$).
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@YvesDaoust Creo que depende de a quién llames matemático (es decir, sobre quién estás tomando el promedio), pero también depende en gran medida de quién esté usando wolfram alpha. Todavía hay bastantes cosas que WA no sabe evaluar correctamente, ve por ejemplo math.stackexchange.com/questions/1888547/…. Además, si no sabes cómo preguntar adecuadamente, es muy fácil obtener tonterías.
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@DRF: Consulta i.stack.imgur.com/bxUZ2.png, que es un error explícito de WA, porque utiliza un algoritmo MATEMÁTICAMENTE INCORRECTO para evaluar límites.
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@ClementC.: Voto negativo basado en el mérito de la respuesta en sí, y generalmente después de dejar un comentario para señalar qué está mal en ella. A menudo espero para ver si se modifica, y si no, entonces podría votar negativamente. Admito que tengo un alto estándar y espero que una respuesta no sea engañosa para el estudiante promedio. Si no estás de acuerdo con mi principio, lo siento, pero creo que es mejor para los estudiantes de esa manera.
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Ingresé (sin las comillas) lo siguiente: "límite (x^2+y^2)^2/(x^2+y^4) en (0,0)". Obtuve el mismo pod de Interpretación de Entrada que se muestra en esta publicación, y el resultado es que el límite no existe. Posiblemente se ha corregido un error, no estoy seguro.
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@user21820 Tengo que preguntarme cuál fue el error explícito, o cuál fue el algoritmo matemáticamente incorrecto (en mayúsculas, por si fuera poco) utilizado por W|A para evaluar límites.
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@DanielLichtblau: Sin duda te puedo decir que hay personas trabajando en el algoritmo detrás de WA que están prestando atención a lo que la gente está diciendo en Math SE y otros lugares sobre errores en WA. Al principio, dio la respuesta incorrecta en algo tan simple como "lim sin(1/x^2)/sin(1/x^2) cuando x tiende a 0". Cuando señalé eso en algún lugar (no puedo recordar si en Math SE o a través de la interfaz de informe de errores de WA), ¡descubrí con horror que el programador simplemente corrigió esa única instancia codificando la respuesta! Esto lo supe porque otro límite muy similar seguía siendo incorrecto.
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@DanielLichtblau: A lo largo del camino, hubo incluso un momento en el que WA dio dos respuestas contradictorias, una diciendo que el límite es 1 y otra diciendo que el límite no existía. ¡Claramente WA estaba confundido! Y como puedes ver en mi PNG, se necesita muy poco esfuerzo de un verdadero matemático para encontrar entradas creativas con las que WA se equivoca. Te lo dejo como un ejercicio de creatividad, porque cada ejemplo que menciono aquí eventualmente se arreglará programando de manera rígida algún criterio incorrecto. ¿Cómo sé que está mal? Dice "no existe" para algunos límites que sí lo hacen...
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@DanielLichtblau: El límite que di en mi PNG en realidad existe, y te divertirá comprobar este hecho por ti mismo. Los límites de forma especial como en la pregunta aquí pueden ser analizados matemáticamente, pero en general cualquier intento de responder a cada pregunta sobre límites llevará a basura, debido a los teoremas de incompletitud de Gödel. Noto que WA ahora da la respuesta correcta al límite que di, pero está claramente codificado en duro ya que da la respuesta incorrecta a un límite similar. Ven al chat de Lógica y pregúntame si quieres conocer algunos trucos para romper fácilmente a WA sin importar lo duro que intenten corregir un error.
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@user21820 Re: "En el camino, hubo incluso un momento en el que WA dio dos respuestas contradictorias, una diciendo que el límite es 1 y otra diciendo que el límite no existía." En realidad todavía veo eso inicialmente, porque diferentes pods aparecen de forma asíncrona. Pero el que da un límite de 1 afirma (más o menos correctamente) que se aplica en un dominio restringido en el que se han eliminado las singularidades.
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@DanielLichtblau: Ah, así que ves lo que quiero decir. Pero puedo producir fácilmente más ejemplos donde WA está actualmente equivocado. Simplemente no quiero mencionarlos aquí para que tengan más dificultades.
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@user21820 Respuesta: "Sin duda puedo decirte que hay personas trabajando en el algoritmo detrás de WA que están prestando atención a lo que la gente está diciendo en Math SE y otros lugares sobre errores en WA." Eso es muy probablemente correcto. Sé que alguna vez fue así, cuando yo era la persona trabajando en estas cosas. Sospecho que sigue siendo así. En cuanto a si ciertos ejemplos problemáticos se vuelven codificados, más bien lo dudo, pero como no soy el desarrollador no puedo estar seguro.
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@DanielLichtblau: ¿Quieres venir al reino de SBA para hablar sobre este tema? Estoy muy interesado en saber más sobre lo que sucede en estos lugares. No me refiero a que los ejemplos individuales se codifiquen, pero estoy seguro de que los programadores intentan codificar algún algoritmo para una clase de expresiones y a menudo lo hacen mal.