Referencia para el número previsto de factores primeros de n mayor que n ^ es de alfa - alfa de registro

Question

Deje $0 < \alpha < 1$ ser una constante. El número esperado de factores primos de un "azar" integer cerca de $n$, que es mayor que $n^\alpha$$-\log \alpha$.

Es mi entendimiento de que (correctamente formulado) este es un hecho bien conocido en la teoría analítica de números, pero no puedo encontrar una referencia para él. ¿Alguien puede dar referencias?

Editado para añadir (28 de Marzo):: La asintótica de la densidad de los números enteros positivos $n$ $k$th mayor factor menor que $n^{1/\alpha}$$\rho_k(\alpha)$, donde tenemos $L_0(\alpha) = [\alpha > 0]$ y $$ L_k(\alpha) = [\alpha \ge k] \int_k^\alpha L_{k-1}(t-1) \: {dt \over t}, $$ y $1-\rho_k(\alpha) = \sum_{n=0}^\infty {-k \choose n} L_{n+k}(\alpha)$. (Ver Riesel, p. 162.) La densidad de enteros positivos con $k$th mayor factor más grande de $n^{1/\alpha}$ por lo tanto $1-\rho_k(\alpha)$, y así el número esperado de los factores más grandes que $n^{1/\alpha}$$\sum_{k \ge 1} (1-\rho_k(\alpha))$. Por lo tanto, el número esperado de tales factores es $$ \sum_{k \ge 1} \sum_{n \ge 0} {-k \choose n} L_{n+k}(\alpha). $$ Dejando $n+k = j$ podemos reescribir esta suma como $$ \sum_{j \ge 1} \sum_{n=0}^{j-1} {n-j \choose n} L_j = \sum_{j \ge 1} L_j \left( \sum_{n=-0}^{j-1} (-1)^n {j-1 \choose n} \right) $$ y el interior de la suma es$0$, excepto cuando se $j=1$, cuando se es $1$. Por lo que el número esperado de los factores más grandes que $n^{1/\alpha}$$L_1(\alpha)$; esto es $\log \alpha$.

Answer 1

Parece ser que complica las cosas. $\alpha$ Fijadas, esto es relativamente fácil de probar. Lo dejo a usted deduce el resultado deseado como consecuencia del teorema siguiente:

Teorema: Que $x>0$ y fijar $0<\alpha<1$. Definir $\omega_{x,\alpha}(n)=\sum_{p|n,\ p>x^\alpha} 1$. Entonces esta función tiene un valor medio %#% $ #%

Prueba: Tenga en cuenta que

$$\frac{1}{x}\sum_{n\leq x} \omega_{x,\alpha}(n)=-\log \alpha +O\left(\frac{1}{\log x}\right).$$

$$\frac{1}{x}\sum_{n\leq x} \omega_{x,\alpha}(n)=\frac{1}{x}\sum_{x^{\alpha}<p<\leq x}\left[\frac{x}{p}\right] =\sum_{x^{\alpha}<p<\leq x}\frac{1}{p}-\frac{1}{x}\sum_{x^{\alpha}<p<\leq x}\left\{\frac{x}{p}\right\}$$ $$= \sum_{x^\alpha<p<x} \frac{1}{p} +O\left(\frac{1}{\log x}\right)=\log \log (x)-\log \log x^\alpha +O\left(\frac{1}{\log x}\right)$$

Answer 2

Creo que puede extraer éste de un papel de Andrew Granville, "primer divisores son Poisson distribuido". Existe una copia electrónica de este en su sitio Web.

Answer 3

Teorema 5.4 de Riesel, números primos y métodos computacionales para la factorización, dice "el número de factores primeros $p$ de números enteros en el intervalo de $[N-x,N+x]$ tal que $a<\log\log p< b$ es proporcional al $b-a$ si $b-a$ $x$ son lo suficientemente grandes como $N\to\infty$."

Answer 4

¿Quiere usted decir que $\log(1/\alpha)$ que se espera que el número de factores primos en $(x^\alpha,x]$ al $\alpha\to0$? Fijo $\alpha\in(0,1)$ de lo que reclaman no es cierto. Por ejemplo,

$|\{n\le x:\exists p|n\;{\rm with}\;\sqrt{x}\lt p\le x\}|\sim x\log2 $

y

$|\{n\le x:p\le\sqrt{x}\;{\rm for all}\;p|n\}|\sim(1-\log2)x$.

Al $\alpha\to0$ no es difícil probar lo que usted necesita, pero no estoy seguro de donde se puede encontrar una referencia precisa. Por ejemplo, el establecimiento $\omega(n;y,z)=|\{p|n:y\lt p\le z\}|$ y tras la demostración del Teorema 6 en la página 311 en Tenenbaum del libro "Introducción a la Analítica y Probabilística de la Teoría de números" que da

$|\{n\le x:|\omega(n;x^\alpha,x)-\log(1/\alpha)|\ge(1+\delta)\log(1/\alpha)\}|\ll x\alpha^{Q(1+\delta)},$

donde $Q(1+\delta)=\int_1^{1+\delta}\log tdt$.