¿Si asociados calificados de a bialgebra filtrada es de Hopf, sigue la bialgebra original era Hopf?

Question

Advertencia: los textos más antiguos usar la palabra "álgebra de Hopf" por lo que ahora se conoce comúnmente como "bialgebra", mientras que ahora "Hopf" es una condición adicional. A fin de evitar cualquier confusión, yo voy a dar mi definiciones antes de concluir con mi pregunta.

Definiciones

Deje $C$ ser una categoría monoidal simétrica estructura $\otimes$ y una unidad de $1$ (y cualquiera de los strictify, o decorar las siguientes ecuaciones con asociador y unitators y así sucesivamente). Un (asociativa, unital) álgebra en $(C,\otimes)$ es un objeto $V$ junto con los mapas de $e: 1\to V$ $m: V\otimes V \to V$ la satisfacción de asociatividad y unidad de axiomas: $m\circ(m\otimes \text{id}) = m\circ (\text{id}\otimes m)$$m\circ (\text{id}\otimes e) = \text{id} = m\circ (e\otimes \text{id})$. Un (coassociative, counital) coalgebra es un objeto $V$ junto con los mapas de $\epsilon: V\to 1$ $\Delta: V \to V\otimes V$ satisfactorio coassociativity y counit axiomas. Un bialgebra es cualquiera de los siguientes equivalente cosas:

• Un coalgebra en la categoría de álgebras y álgebra-homomorphisms ($1$ tiene su canónica álgebra estructura procedentes de la $\otimes$ axiomas $1\otimes 1 = 1$; en el producto tensor de álgebras, los elementos de los diferentes multiplicands conmutar)
• Un álgebra en la categoría de coalgebras y coalgebra-homomorphisms
• Un objeto $V$ con mapas de $e,m,\epsilon,\Delta$ la satisfacción de los axiomas anteriores y una compatibilidad axioma: $$ \Delta \circ m = (m\otimes m) \circ (\text{id} \otimes \text{flip} \otimes \text{id}) \circ (\Delta \otimes \Delta) $$

Un bialgebra pueden tener la propiedad de ser de Hopf (es una propiedad, no de datos adicionales): un bialgebra $V$ es de Hopf si existe una antípoda mapa de $s: V\to V$ satisfactorio $$ m \circ (s\otimes \text{id}) \circ \Delta = e\circ \epsilon = m \circ (\text{id} \otimes s) \circ \Delta $$ Naturalmente, es mejor ver estas definiciones de leer; comprobar por ejemplo, el artículo de la Wikipedia. Si la antípoda existe para un bialgebra, es el único (que justifica considerando Hopfness una propiedad en lugar de una estructura) y es un antihomomorphism tanto para el álgebra y coalgebra estructuras.

Vamos a VECT ser la categoría de espacios vectoriales (sobre su favorita de campo), con $\otimes$ la costumbre producto tensor y $1$ el campo de tierra. A ($\mathbb N$-)filtrada espacio vectorial es una secuencia $V = \{V_0 \hookrightarrow V_1 \hookrightarrow V_2 \hookrightarrow \dots\}$ en VECT. Una de morfismos de filtrado espacios vectoriales $V \to W$ es una secuencia de morfismos $V_n \to W_n$, de modo que cada plaza de viajes: $\{V_n \hookrightarrow V_{n+1} \to W_{n+1}\} = \{V_n \to W_n \hookrightarrow W_{n+1}\}$. De manera equivalente, un filtrado espacio vectorial es un espacio de $V \in $VECT junto con un aumento de la secuencia de subespacios $V_0 \subseteq V_1 \subseteq \dots \subseteq V$ tal que $V = \bigcup V_n$, y una lineal mapa de filtrado espacios vectoriales $V \to W$ es filtrada si la imagen de $V_n$ se encuentra en $W_n$ por cada $n$.

Debido a $\otimes$ es exacta en VECT (porque cada monomorphism splits), a un par de $V,W$ de filtrado espacios vectoriales podemos definir un $\mathbb N^2$-filtrada espacio con $(p,q)$-parte $V_p\otimes W_q$, y entonces podemos definir el $\mathbb N$-filtrada espacio de $V\otimes W$ mediante el establecimiento $(V\otimes W)_n$ a ser el colimit del diagrama dado por todos los $V_p\otimes W_q$ $p+q \leq n$. Equivalentemente, podemos tomar el producto tensor en VECT de las uniones $V = \bigcup V_n$$W = \bigcup W_n$, y, a continuación, filtrar por el que se declara que el $n$th parte es la unión de las $(p\otimes q)$th partes para $p+q = n$.

A ($\mathbb N$-)clasifica espacio vectorial es una secuencia $\{V_0,V_1,V_2,\dots\}$ en VECT, o, equivalentemente, un espacio de $V$ junto con una suma directa de descomposición $V = \bigoplus V_n$. Una de morfismos graduales de espacios vectoriales, se conserva la calificación.

Deje $V$ ser filtrada espacio vectorial. Sus asociados gradual espacio de $\text{gr}V$ está dado por $(\text{gr}V)_n = V_n / V_{n-1}$ donde $V_{-1} = 0$, por supuesto. A continuación, $\text{gr}$ es un monoidal simétrica functor, y así se lleva a filtrada bialgebras para graduales bialgebras.

Pregunta

Deje $V$ ser un filtrado bialgebra, es decir, un bialgebra en la categoría de filtrado espacios vectoriales. A continuación, $\text{gr}V$ es graduado bialgebra. Supongamos que $\text{gr}V$ es de Hopf. De lo anterior se sigue que el $V$ es de Hopf? I. e. supongamos que $\text{gr}V$ tiene una antípoda mapa. Debe $V$ tiene una antípoda mapa?

(O tal vez se requiere de hipótesis adicionales, por ejemplo, que hemos de ser en el carácter 0, o que $V$ es localmente finito en el sentido de que cada una de las $V_n$ es finito-dimensional?)

Answer 1

Hay un teorema por Takeuchi [Takeuchi, Mitsuhiro. Libre de álgebras de Hopf generado por coalgebras. J. Math. Soc. Japón 23 (1971), 561--582. MR0292876], que afirma que si $A$ es un álgebra y $C$ es un coalgebra, a continuación, un mapa de $f\in\hom(C,A)$ es de convolución invertible iff su restricción $f|_{C_0}\in\hom(C_0,A)$ a la coradical $C_0$ $C$ es de convolución es invertible. En particular, si $A=C$ es un bialgebra, para comprobar que es un álgebra de Hopf sólo necesita comprobar que $\mathrm{id}_{H_0}:H_0\to H$ es de convolución es invertible. Si la filtración ha $H_0\subseteq F_0$, e $F_0$ es un álgebra de Hopf, entonces este es automática. Otro sencillo ejemplo de esto es el caso clásico donde $H_0=K$.

Answer 2

Hay un teorema que, si me entienden correctamente tu pregunta, las respuestas (porque el álgebra de Hopf antípoda se define como el $\ast$-inversa de a $\mathrm{id}$):

Teorema 1. Deje $A$ ser un álgebra y $\left(C,\left(C_n\right)_{n\geq 0}\right)$ un filtrado coalgebra, yo. e. un coalgebra $C$ y una secuencia $\left(C_n\right)_{n\geq 0}$ tal forma que:

$C_n$ es un subespacio vectorial de $C$ por cada $n\geq 0$;

$C=\bigcup_{n\geq 0}C_n$;

$\Delta\left(C_n\right)\subseteq\sum_{i=0}^n C_i\otimes C_{n-i}$ por cada $n\geq 0$.

Deje $f:C\to A$ ser lineal en el mapa tal que la restricción $f\mid_{C_0}:C_0\to A$ $\ast$- invertible. A continuación, $f$ sí es $\ast$-invertible.

La prueba del Teorema 1. Desde $f\mid_{C_0}:C_0\to A$ $\ast$- invertible, existe un mapa de $C_0$ $A$$\ast$- inversa de a $f\mid_{C_0}$. Deje $g$ ser arbitraria de extensión lineal de este mapa para el conjunto de la $C$. Por lo $g:C\to A$ es lineal en el mapa tal que $g\mid_{C_0}:C_0\to A$ $\ast$- inversa de a $f\mid_{C_0}:C_0\to A$. En otras palabras, $\left(f*g\right)\mid_{C_0}=\eta\epsilon\mid_{C_0}$ (lo siento, yo llame a $\eta$ lo que denota por $e$). Sin embargo, en otras palabras, $\phi\mid_{C_0}=0$ donde $\phi:C\to A$ es el lineal mapa definido por $\phi = \eta\epsilon - f*g$. Un fácil de inducción (sólo el uso de $\Delta\left(C_n\right)\subseteq\sum_{i=0}^n C_i\otimes C_{n-i}$$\phi\mid_{C_0}=0$) muestra que el $\phi^i\left(C_n\right)=0$ para todos los enteros $i$ $n$ satisfacción $i>n\geq 0$ donde $\phi^i$ $i$- ésima potencia de a $\phi$ con respecto a la convolución $\ast$. Por lo tanto, el mapa de $\sum_{i=0}^{\infty} \phi^i:C\to A$ está bien definido (de hecho, la suma de $\sum_{i=0}^{\infty} \phi^i:C\to A$ converge pointwise, como $C=\bigcup_{n\geq 0}C_n$). Pero $\left(\eta\epsilon - \phi\right)\ast\left(\sum_{i=0}^{\infty} \phi^i\right)=\eta\epsilon$ (por la serie geométrica de la fórmula, ya que $\eta\epsilon$ es la unidad del anillo de $\mathrm{Hom}\left(C,A\right)$ con la multiplicación $\ast$) y $\left(\sum_{i=0}^{\infty} \phi^i\right)\ast\left(\eta\epsilon - \phi\right)=\eta\epsilon$ (por la misma razón). Por lo tanto, $\eta\epsilon - \phi$ $\ast$- invertible. Pero $\eta\epsilon - \phi=-f*g$ (por la definición de $\phi$). Por lo tanto, $-f*g$ $\ast$- invertible. Por lo tanto, también lo es $f*g$, y por lo tanto $f$ tiene un lado derecho inversa. Del mismo modo, $g*f$ $\ast$- invertible, y por lo tanto $f$ tiene un lado izquierdo inversa. Por lo tanto, $f$ es invertible. Teorema 1 sea probado.

EDIT: Bueno, vamos a explicar cómo conseguir que su afirmación del Teorema 1: Desde $\mathrm{gr} V$ es un álgebra de Hopf, la identidad de $\mathrm{id}:\mathrm{gr} V\to\mathrm{gr} V$ $\ast$- inversa. Por lo tanto, su restricción $\mathrm{id}\mid_{V_0}:V_0\to\mathrm{gr} V$ para el componente de $V_0$ $\mathrm{gr} V$ también tiene un $\ast$-inversa. Esta $\ast$-inversa debe tener su imagen en $V_0$ (porque de lo contrario se pueden encadenar con la proyección de $\mathrm{gr} V\to V_0$, y conseguir otro $\ast$-inversa de a $\mathrm{id}\mid_{V_0}:V_0\to\mathrm{gr} V$, pero el $\ast$-inversa es única cuando existe, por lo que debe ser el mismo). Por lo tanto, el mapa de $\mathrm{id}\mid_{V_0}:V_0\to V_0$ $\ast$- inversa. Por lo tanto, el mapa de $\mathrm{id}\mid_{V_0}:V_0\to V$ $\ast$- inversa. Ahora, el Teorema 1 de los rendimientos que lo hace $\mathrm{id}:V\to V$, y hemos terminado.