Dar ejemplos o explicar por qué es imposible

Question

a) Una función continua definida en un intervalo abierto, con un rango igual a un intervalo cerrado.

Mi ejemplo: $f(x)=\frac{1}{2}\sin(4\pi x)+\frac{1}{2}$$(0,1)$$[0,1]$. Nota: no estoy considerando $\mathbb{R}$ un intervalo.

b) Una función continua definida en un intervalo cerrado, con un rango igual a un intervalo abierto.

Creo que esto es imposible si se excluyen $\mathbb{R}$. Edit: también debemos excluir sin límites de los intervalos. Por el Teorema del Valor Extremo, cualquier función continua en un conjunto compacto alcanza un máximo y un mínimo. Sin embargo, el conjunto de los puntos de un intervalo abierto no incluye su supremum y infimum, una contradicción.

c) Una función continua definida en un intervalo abierto, con un rango igual a un ilimitado conjunto cerrado diferente de $\mathbb{R}$.

Mi ejemplo: $f(x)=\sqrt{|x|}$ $\mathbb{R}$ a [0,$\infty$). Hay otra función que funciona y tiene un dominio distinto al de $\mathbb{R}$.

d) Una continua definida sobre todos los de $\mathbb{R}$, con un rango igual a $\mathbb{Q}$.

Yo estaba pensando que quizás mapa de los números naturales a $\mathbb{Q}$ y usar el resto para "llenar los vacíos". Evidentemente, necesito más ayuda con d).

Gracias de antemano!

Answer 1

Para una) yo sólo consideraría una función constante, $[a,a]$ es un intervalo cerrado. Si desea un intervalo de longitud positiva, $\sin$ o algunas variaciones (como el tuyo) es el camino a seguir. Personalmente prefiero adaptar el dominio a agregar cosas y factores.

B) su argumento es correcto para los intervalos acotados.

C) podía hacer algo con $x+\frac{1}{x}$.

Para d) considere lo que significaría el teorema del valor intermedio para tal función.

Answer 2

B) pensar en $(\sin x)(1-1/x)$ $[1,\infty).$

Answer 3

Esto se parece sobre todo un buen trabajo.

a) Esto es perfecto como es.

b) Sólo excluyendo $\mathbb{R}$ no es suficiente, puesto que puede asignar $[0,\infty)$ a un intervalo abierto. Pero su argumento es válido para delimitada intervalos.

c) Si usted quiere encontrar un mapa sobre un intervalo finito considerar el mapa de $(0,1)\to\mathbb{R}$ definido por $x\mapsto \frac{1}{x}$. Esto no completamente el trabajo, pero usted puede extender esta función a $(0,2)$ en una forma de hacer el trabajo.

d) echa un vistazo a el teorema del valor Intermedio

Answer 4

c) $f(x) = |\tan x |$ $(-\pi/2, \pi/2) \to [0,\infty)$

d) mapa $f(x) = 1$ $x\in R$ a un subconjunto de $\mathbb Q$ y es lo mejor que vas a poder hacer.

Para todos ellos, hay definiciones definición de continuo que puede interesar.

$f:X\to Y$ es continuo iff para cada abierto sub-conjunto de $V\subset Y$ la imagen previa de $V$ está abierto. Es de la imagen previa de $V$ $f^{-1}(V) = \{x\in X|f(x)\in V \}$.