Explicación intuitiva de la fórmula integral de Cauchy en análisis complejo

Question

Existe un teorema que afirma que si $f$ es analítica en un dominio $D$ y el disco cerrado { $ z:|z-\alpha|\leq r$ contenidos en $D$ y $C$ denota el límite del disco seguido en la dirección positiva, entonces para cada $z$ en el disco podemos escribir: $$f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta$$

Mi pregunta es: ¿Cuál es la explicación intuitiva de esta fórmula? (Por ejemplo, aunque no es necesario, geométricamente).

(Sólo para aclarar: conozco la demostración de este teorema, sólo intento comprender de dónde procede esta fórmula exacta).

Answer 1

El truco está en recordar que diferenciable es en realidad una forma de decir "localmente lineal", es decir, cercano a $z$ tenemos $$f( \zeta )= f(z) + (\zeta -z)f'(z) +g( \zeta )$$

Dónde $g(\zeta)$ es un término de error que desaparece a medida que nos acercamos a $z$ (de hecho es $o(\zeta -z)$ ).

Ahora, dividiendo por $(\zeta -z)$ como en la fórmula integral da expresión bajo el signo integral como: $$\frac{f( \zeta )}{(\zeta -z)}= \frac{f(z)}{(\zeta -z)} + f'(z) +\frac{g( \zeta )}{(\zeta -z)}$$

Ahora lo integramos término a término:

El último término sigue desapareciendo como $\zeta \to z$ (por la definición de pequeño o), lo que nos permite ignorarlo mediante un argumento de homotopía. Verás, como podemos reducir el bucle $\gamma$ en torno a $z$ arbitrariamente pequeña sin cambiar el valor de la integral (un viejo teorema de Cauchy dice que la integral a lo largo de una curva cerrada es invariante homotópica $(*)$ ) y, a medida que el bucle se hace más pequeño, vemos que el valor del último término en $\gamma$ se acerca a desaparecer, y por tanto, moralmente, su integral sobre $\gamma$ puede estar limitada por encima en módulo por sucesivamente más pequeños $\epsilon$ . Pero, debido a la invariancia de homotopía, estas $\epsilon$ acotar la integral sobre todos esos bucles- y $\epsilon$ es arbitraria, por lo que la integral del último término desaparece.

El segundo término es fácil- esto se integra en $[\zeta f'(z)]_{\gamma (0)}^{\gamma (1)}$ con $\gamma (0)=\gamma (1)$ . Enchúfalo para ver que esto desaparece.

El primer término es el interesante y otros lo han tratado bien en sus posts, pero terminaré el argumento de todos modos. Una vez eliminados los demás términos (y observando que $f(z)$ es una constante) tenemos un par de afirmaciones equivalentes a la fórmula original:

$$\frac{1}{2\pi i}\int\frac{f(z)}{\zeta-z}d\zeta =f(z) \iff \int\frac{1}{\zeta-z}d\zeta =2\pi i$$

Este último podemos utilizar la sustitución $u=\zeta-z$ y homotopía para hacer sobre la integral sobre un círculo $\gamma (t)= e^{2\pi it}$ alrededor del origen dando:

$$\int_{\gamma} \frac{1}{u} du (**)= \int_0^1 \frac{\gamma '(t)}{\gamma (t)}dt= = \int_0^1 \frac{2 \pi i e^{2\pi it}}{e^{2\pi it}}dt$$

La última es un regalo total tras la cancelación y todos nos vamos a casa sonriendo. Por supuesto, podríamos haber calculado moralmente $(**)$ sin recurrir a tecnicismos observando que la primitiva de $\frac{1}{u}= log(u)$ y mirando el integrando $[log(u)]_{e^0}^{e^{(2\pi -\epsilon) i}}$ y dejando $\epsilon \to 0$ . Pero la intuición "correcta" es sin duda la de la respuesta de Augusti.

En cuanto a $(*)$ La intuición es otra historia, pero puede que la añada más adelante si parece que merece la pena...

Answer 2

Como señaló Chandru1, un bello caso particular de la fórmula integral de Cauchy nos da una muy particular número de bobinado . Para simplificar, veamos sólo las trayectorias cerradas en la frontera del disco unitario, $\gamma : [0,1] \longrightarrow S^1$ . Entonces, el número de bobinado de $\gamma$ es el número de veces $\gamma$ rodea la circunferencia. Es decir, si escribimos el número complejo $\gamma (t)$ en su forma exponencial

$$ \gamma (t) = e^{i\theta (t)} \qquad \qquad \qquad [1] $$

entonces se puede demostrar que existe un continuo opción para el argumento $\theta (t)$ de $\gamma (t)$ es decir, una función continua $\theta : [0, 1] \longrightarrow \mathbb{R} $ tal que [1] se cumple para todo $t$ . En Topología algebraica, $\theta$ se denomina "elevación" de $\gamma$ . Además, dos "liftings" continuos cualesquiera de $\gamma$ difieren necesariamente en un múltiplo entero constante de $2\pi$ : si $\widetilde{\theta}(t)$ es otra elevación (continua) de $ \gamma$ entonces existe un número entero constante $k$ no depende de $t$ tal que $\widetilde{\theta}(t) = \theta (t) + 2k\pi$ para todos $t$ . (Esto se denomina "lema de elevación" en Topología Algebraica. Para una demostración en Análisis Complejo, véase el teorema 7.1, en Stewart y Tall). Así que el número de veces $\gamma $ recorre la circunferencia (su número de bobinado ) está bien definida como

$$ w (\gamma , 0) = \frac{\theta (1) - \theta (0)}{2\pi} \ . $$

Entonces se puede demostrar fácilmente (véase op.cit, sección 7.5), que

$$ w (\gamma , 0 ) = \frac{1}{2\pi i}\int_\gamma \frac{1}{\zeta}d\zeta \ . $$

Entonces, la fórmula integral de Cauchy para la función constante $f \equiv 1$ , $z = 0$ (y $\gamma (t) = e^{i2\pi t}$ Por lo tanto $\theta (t) =2 \pi t$ ) nos dice que

$$ \frac{1}{2\pi i}\int_\gamma \frac{1}{\zeta}d\zeta = 1 \ . $$

Es decir, si se da la vuelta a la circunferencia una sola vez, se está dando la vuelta a la circunferencia exactamente una vez. ¿No son increíbles las matemáticas? :-)

Answer 3

La fórmula de Cauchy tiene una interpretación notable en términos de geometría hiperbólica.

Para entenderlo, hay que saber muy poco de geometría hiperbólica.

De hecho, sólo necesitas saber que si defines el "plano" como el disco unitario abierto $D$ en $\mathbb C$ y las "líneas" como aquellos arcos de círculo dentro de $D$ que son ortogonales al círculo unitario $\partial D$ se obtiene un modelo para el plano hiperbólico.

[Hay un primer milagro: las isometrías que preservan la orientación de $D$ en sí mismo son precisamente los automorfismos holomorfos de $D$ .]

Si $f$ es holomorfa en una vecindad del cierre de $D$ y $z$ está en $D$ entonces la Fórmula de Cauchy dice que

$f(z)$ es la media de $f$ en $\partial D$ "como se ve desde $z$ ".

Con esto quiero decir que $f(z)$ es la integral de $f$ en $\partial D$ con respecto a la medida que asigna a un arco en $\partial D$ el número $\theta/2\pi$ donde $\theta\in[0,2\pi]$ es el ángulo entre las semirrectas (hiperbólicas) que van de $z$ a los puntos finales del arco. (Esa es la medida que crees que tiene el arco, como parte de tu horizonte, si lo miras desde $z$ .)

EDIT 1 DE NOV 1, 2010.

Se trata de aclarar la relación entre las fórmulas de Cauchy y de Poisson.

Para $|z|<1$ y $\theta$ real definen el Núcleo de Cauchy por $$C(\theta,z):=\frac{1}{2\pi}\ \frac{e^{i\theta}}{e^{i\theta}-z}\quad,$$ y definir el Transformada de Cauchy de una función continua $g$ en el círculo unitario $\partial D$ por $$(Cg)(z):=\int_0^{2\pi}g(e^{i\theta})\ C(\theta,z)\ d\theta$$ para $|z|<1$ . En particular la Fórmula de Cauchy dice que si $g$ es el valor límite de a holomórfico función $f$ en $D$ entonces $Cg=f$ .

Para $|z|<1$ y $\theta$ real definen el Núcleo de Poisson por $$P(\theta,z):=C(\theta,z)+\overline{C(\theta,z)}-\frac{1}{2\pi}\quad,$$ y definir el Transformada de Poisson de una función continua $g$ en el círculo unitario $\partial D$ por $$(Pg)(z):=\int_0^{2\pi}g(e^{i\theta})\ P(\theta,z)\ d\theta$$ para $|z|<1$ . En particular la Fórmula de Poisson dice que si $g$ es el valor límite de a armónico función $f$ en $D$ entonces $Pg=f$ .

EDIT 2 DE NOV 1, 2010. Se lo he robado a Bill Thurston: vaya a la página 180 de (o busque "visual" en) http://www.math.unl.edu/~mbrittenham2/classwk/990s08/public/thurston.notes.pdf/8a.pdf .

EDICIÓN DEL 2 DE NOVIEMBRE DE 2010.

Stricto sensu no hay interpretación geométrica del núcleo de Cauchy, porque no es invariante.

En efecto, si $G$ denota el grupo de transformaciones biholomórficas del disco unitario abierto $D$ entonces el Núcleo de Cauchy $C(z,\theta)d\theta$ vista como una forma 1 en $D\times\partial D$ es no $G$ -invariante.

Sin embargo, su restricción a $\{0\}\times\partial D$ es invariante bajo el estabilizador de $0\in D$ en $G$ (que es el grupo del círculo).

Como resultado, esta restricción se extiende de forma única a un $G$ -1-forma invariante en $D\times\partial D$ y esta 1-forma es la Núcleo de Poisson .

Más concretamente, el espacio vectorial (complejo) de $G$ -invariante $(0,1)$ -formas en $D\times\partial D$ es unidimensional, generado por el núcleo de Poisson. [Esto se debe a que la acción de $G$ en $D\times\partial D$ es simplemente transitiva, y la $(0,1)$ -formas en $D\times\partial D$ son las secciones de un haz de líneas homogéneo sobre $D\times\partial D$ .]

Answer 4

En resumen, la razón intuitiva por la que la fórmula integral de Cauchy es cierta es que (a) es cierta en el límite para trayectorias de círculos pequeños $C_r$ acerca de $z$ , cuando se reduce al promedio y (b) la integral no cambia a medida que la trayectoria se deforma agradablemente de $C_r$ a $C$ :

1. Integrales de funciones complejas diferenciables $\zeta\mapsto F(\zeta)$ sobre caminos cerrados no cambian cuando las trayectorias se deforman bien en el dominio de la diferenciabilidad. Para una superprueba de esto que no usa diferenciabilidad continua, véase H. Hanche-Olsen, ``On Goursat's proof of the Cauchy integral theorem,'' Amer. Math. Monthly 115 (2008) 648-652.

2. Integración en trayectorias circulares $C_r: t\mapsto \zeta=z+re^{it}$ ( $t\in[0,2\pi]$ ) corresponde a la promediación: $$ \frac{d\zeta}{\zeta-z} = \frac{i r e^{it} dt}{re^{it}} =i\,dt, \quad\mbox{hence}\ \frac{1}{2\pi i}\int_{C_r} \frac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta = \frac1{2\pi} \int_0^{2\pi}f(z+re^{it})\,dt. $$

3. Dado $z\in D$ la función $$\zeta\mapsto F(\zeta)=\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}$$ es diferenciable en $D\setminus\{z\}$ , por lo que para cualquier ruta, como $C$ que puede ser deformar muy bien en $D\setminus\{z\}$ a una trayectoria circular $C_r$ como arriba, podemos deformar aún más tomando $r\to0$ y concluimos que para todo positivo pequeño $r$ , $$ f(z) =\frac{1}{2\pi i} \int_{C_r} \frac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta =\frac{1}{2\pi i} \int_C \frac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta. $$

Answer 5

Ampliando mi comentario, este resultado puede traducirse en:

"Una superficie en $\mathbb{R}^3$ que satisface el principio del módulo máximo se determina de forma única especificando su límite".

Para ver esto, escribe la función holomorfa $f(z)$ en términos de sus partes real e imaginaria:

$$ f(z) = f(x,y) = g(x,y) + ih(x,y)$$

Entonces como $f$ es holomorfa, las funciones $g(x,y)$ y $h(x,y)$ son ambas funciones armónicas de valor real que satisfacen el principio del módulo máximo. Interpretando el valor de $g$ o $h$ como la altura de una superficie en $\mathbb{R}^3$ podemos ver que, de acuerdo con el teorema de Cauchy, tales superficies se determinan unívocamente especificando su límite.