Uso de raíces y exponentes al resolver desigualdades

Question

Esta es mi primera pregunta en el sitio y estoy seguro de que habrá muchos más. Pero por ahora, el punto.

Realmente estoy teniendo problemas para entender el uso adecuado de las raíces y de los exponentes para tratar de resolver las desigualdades. La cosa es que he notado que el uso de tales operaciones, en muchas ocasiones, no producen un equivalente de inecuaciones.

Mis problemas comenzaron con el siguiente ejercicio $\sqrt{8x^{2}+22x+15} > 4x+3$

Yo primero considera que el $\ 8x^{2}+22x+15\geq 0$, por lo que yo sé que a raíz de expresión será un número real mientras $\ x \leq-3/2$ O $\ x \geq-5/4$

Mi intento de soluciones:

1) el Cuadrado ambos lados para obtener un segundo grado del polinomio en cada lado, simplificar y resolver.

$$\ \big( \sqrt{8x^{2}+22x+15} \big) ^{2} > \big(4x+3\big) ^{2} $$

RESULTADO: se obtiene de la solución equivocada y estoy bajo la impresión de que el cuadrado de no producir un equivalente a la desigualdad.

2) Reste $\ 4x + 3 $ en ambos lados y tratar de eliminar las raíces cuadradas elevando al cuadrado ambos lados.

$$\ \big(\sqrt{8x^{2}+22x+15} - \big(4x+3\big)\big)^{2} > 0 $$ $$\ 24x^2+46x+12-2\big(4x+3\big)\sqrt{8x^{2}+22x+15} > 0 $$

Si intento esta $\ 24x^2+46x+12 > 2\big(4x+3\big)\sqrt{8x^{2}+22x+15} $ y cuadrado ambos lados para eliminar la raíz cuadrada voy a llegar a la respuesta equivocada en la final, ya sé que esto no producir un equivalente de inecuaciones. (Tratado de resolver esto antes, así que tengo un poco pensé que era un mal movimiento.)

Me gustaría tener una idea de cómo resolver este tipo de problemas y cuál es la forma correcta de hacerlo. ¿Qué hechos matemáticos o reglas que me estoy perdiendo aquí? ¿Cómo debo tratar a las raíces y exponentes en general?

Ayuda es muy apreciada!

Answer 1

La pregunta que subyace aquí, yo piensan, es lo que se llama la monotonía, lo que básicamente significa aumentando o disminuyendo. Considere la posibilidad de una función real de una función con valores de $f$, que se lleva a variables reales, con la propiedad de que: $$\text{For real numbers $x,y$ of a subset A} \\ x<y \Rightarrow f(x) < f(y)$$ Entonces decimos que la $f$ es creciente (en $\text{A}$) Esto sucede, por ejemplo, con $f\mid f(x)=2x$. En la otra mano, tome $g \mid g(x)=x^2$, y los números de $-3,2$. Obviamente $-3<-2$, pero $g(-3) \not< g(2)$. En realidad si $x<0<y$,$g(x)\not <g(y)$. Esta es la razón por la $$\sqrt{8x^{2}+22x+15} > 4x+3\no\Rightarrow \ \big( \sqrt{8x^{2}+22x+15} \big) ^{2} > \big(4x+3\big) ^{2}, $$ because $4x+3$ can be negative for, say $x=-2$, which is in the domain you have found that the square root is real (and therefore the expression makes sense). In fact, $4x+3$ is negative if and only if $x<\large\frac{-3}{4}$. Also notice that $x>\large\frac{-3}{4}\Rightarrow $ $x \ge \large\frac{-5}{4}$, and so, for all $x>\large\frac{-3}{4}$ $$\big( \sqrt{8x^{2}+22x+15} \big) ^{2} > \big(4x+3\big) ^{2} $$ Usted puede continuar como antes, teniendo en cuenta que se aplica el resultado de la mencionada $x$'s. Diga usted obtener $x\in P\subset\mathbb R$ ($P$ algún subconjunto de los números reales).

Para $x < \frac{-3}{4}$ ($x < \frac{-3}{2}$ para ser precisos, debido a que la expresión sólo se define aquí), la expresión es siempre. Allí la desigualdad original implica una de dos situaciones: $$\left\{\begin{align} x &<\frac{-3}{2} \\ &\mathrm {or} \\ x&\in P\subset\mathbb R\end{align}\right.$$ Este debe ser el resultado final, me corrigen si estoy equivocado!

Como para que las raíces y los exponentes en general, o cualquier función que nos "aplicar" para una desigualdad (yo uso las citas porque realmente nos estamos tomando en cuenta la definición de aumentar o disminuir, en lugar de la "aplicación" de la función), sólo tenemos que encontrar la subconjuntos donde la función aumenta o disminuye (disminuyendo tiene la misma definición, en sustitución de la segunda "$<$" con "$>$"). A continuación, el procedimiento será el rendimiento, para cada subconjunto, subconjunto diferente de los números reales en los que la desigualdad se cumple (puede estar vacío conjuntos). Por ejemplo, para natural $n$, $h\mid h(x)=x^n$ está aumentando en todos los de $\mathbb R$ si y sólo si $n$ es impar, y se comporta como $x^2$ incluso $n$. Trate de averiguar similares propiedades positivas de los exponentes racionales y positivos $x$ (sugerencia: escriba $x^{p/q}$ $(x^p)^{\frac1q}$ y el uso de las reglas de los exponentes naturales mostrado antes, y creo que si el $q$-ésima raíz de un número es creciente o decreciente (la función que le asigna la $q$-ésima raíz). Espero que me ayudó a salir!

Answer 2

Bien, usted tendrá a cuadrado el inequation (al menos) una vez, así que prefieren elegir intento 1).

Es cierto que cuadrar una ecuación no es un paso equivalente, sin embargo, ahora es de la forma $A>B$ $A\ge 0$ (como $A=\sqrt{\text{something}}$). Lo, o $B<0$, en cuyo caso la desigualdad sostiene--, o ambos $A,B$ son no negativos, y entre números no negativos cuadratura es un paso equivalente:

Si $A,B\ge 0$ y $\,\ A<B\ \iff\ A^2<B^2$.

Answer 3

Me parece que la desigualdad se cumple para valores de x entre - infinito y -3/2 y entre -5/4 y 3/4.