¿Está esto correcto? $rH=Hr^{-1}$

Question

¿Es correcto este razonamiento?

$grH$
$hH: g=rh$
$h=r^{-1}g$
$h^{-1}=g^{-1}r$
$(h'=h^{-1}H): g=h' r^{-1}$
$gHr^{-1}$

Por lo tanto $rH=Hr^{-1}$

Answer 1

¡No, estás equivocado! Toma $G = S_3$, $H = \{1, (12)\}$, $r = r^{-1} = (13)$. Entonces $$r H = (13) \{1, (12)\} = \{(13), (132)\} \ne \{(13) (123)\} = \{1, (12)\} (13) = H r^{-1}$$.

El error está en pasar de $h^{-1}=g^{-1}r$ a $g=h^{-1} r^{-1}$. Este último debería ser $g^{-1} = h^{-1} r^{-1}$ en su lugar.

PD En esta otra publicación se nota que si $R$ es un conjunto completo de representantes de los cocientes izquierdos de $H$ en $G$, es decir, cada cociente puede escribirse de forma única como $r H$, para algún $r \in R$, entonces $R^{-1} = \{r^{-1} : r \in R\}$ es un conjunto completo de representantes de los cocientes derechos de $H$ en $G$, es decir, cada cociente puede escribirse de forma única como $H r^{-1}$, para algún $r \in R$. Esto no choca con lo que sucede aquí, ya que un cociente izquierdo no necesita ser un cociente derecho.

PPD Quizás podría agregar una observación simple. Sea $H$ un subgrupo de un grupo $G$, y supongamos que $r H = H r^{-1}$ para algún $r \in G$. Entonces $r = h r^{-1}$ para algún $h \in H$, así que $r^2 = h \in H$. Además, $r H r^{-1} = r^2 H = H$. Recíprocamente, si $r \in N_G(H)$ y $r^2 \in H$, entonces $H r^{-1} = r^2 H r^{-1} = r r H r^{-1} = r H$.

Answer 2

Como ha señalado Andreas Caranti, la declaración en sí no es correcta.

Donde te equivocaste en tu razonamiento es en la penúltima línea. Estás afirmando $g = h^{-1}r^{-1}$. Pero $g = rh$, por lo que esto solo es cierto si $g = g^{-1}$, es decir, si g tiene un orden de a lo sumo $2$.