¿Es esto correcto?

Question

¿Es este razonamiento correcto?

$g∈rH$
$⇔∃h∈H: g=rh$
$⇔h=r^{-1}g$
$⇔h^{-1}=g^{-1}r$
$⇔∃(h'=h^{-1}∈H): g=h' r^{-1}$
$⇔g∈Hr^{-1}$

Por lo tanto $rH=Hr^{-1}$

Answer 1

No, estás equivocado. Tomar $G = S_3$, $H = \{1, (12)\}$, $r = r^{-1} = (13)$. A continuación, $$r H = (13) \{1,(12)\}=\{(13), (132)\} \ne \{ (13) (123)\} = \{1, (12)\} (13) = H r^ {-1}.$$

El error es cuando vas de$h^{-1}=g^{-1}r$$g=h^{-1} r^{-1}$. El segundo debe ser $g^{-1} = h^{-1} r^{-1}$ lugar.

PS En este otro post se hace constar que si $R$ es un conjunto completo de representante de la izquierda cosets de $H$$G$, es decir, cada una de estas coset puede escribirse de forma única como $r H$, para algunas de las $r \in R$, $R^{-1} = \{r^{-1} : r \in R\}$ es un conjunto completo de representante de la derecha cosets de $H$$G$, es decir, cada una de estas coset puede escribirse de forma única como $H r^{-1}$, para algunas de las $r \in R$. Esto no entre en conflicto con lo que está sucediendo aquí, como a la izquierda coset no tiene que ser un derecho coset.

PPS tal vez yo podría agregar una simple observación. Deje $H$ ser un subgrupo de un grupo de $G$, y supongamos $r H = H r^{-1}$ algunos $r \in G$. A continuación, $r = h r^{-1}$ algunos $h \in H$, lo $r^2 = h \in H$. Por otra parte $r H r^ {-1} = r^2 H = H$. Por el contrario si $r \in N_G(H)$$r^2 \in H$,$H r^{-1} = r^2 H r^{-1} = r r H r^{-1} = r H$.

Answer 2

Como Andreas Caranti ha señalado, la declaración sí mismo no es correcta.

Donde fue mal en su razonamiento es la segunda a la última línea. Usted reclama $g = h^{-1}r^{-1}$. Pero $g = rh$, así que esto es sólo cierto si $g = g^{-1}$, es decir, si $g$ ha pedido a más $2$.