¿Por qué el jacobiano muestra que una transformación es uno a uno?

Question

Considere $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ donde $f$ viene dado por

$$f =\begin{bmatrix} f_1(x,y)\\ f_2(x,y) \end{bmatrix}$$

Donde podemos suponer $f$ es de clase $C^1$ (continuamente diferenciable), si $J$ es el jacobiano asociado de $f$ y si $\det J \neq 0$ para cada $x,y \in\mathbb{R}^2$ ¿por qué implica eso $f$ ¿es uno a uno?

Entiendo esta idea para funciones monovariables, pero no estoy tan convencido en multivariables.

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Gracias por el contraejemplo, pero permítame añadir una restricción más. Que $f$ sea uno a uno definido en un conjunto abierto $A$ Así que $f: A \to \mathbb{R}^2$

Answer 1

Lo mejor que se puede decir es que hay un barrio en el que su función es uno a uno; este es el Teorema de la función inversa que se aplica cuando el jacobiano no es degenerado.

Answer 2

Esto es falso. Considere la función $f(x,y)=[e^x\cos(y),e^x\sin(y)]$ . Calcule el determinante del jacobiano para ver que nunca desaparece. Sin embargo, la función es $2\pi$ -periódico en el $y$ variable, es decir, $f(x,y)=f(x,y+2\pi k)$ para cualquier número entero $k$ .

Nota al margen: si conoces las variables complejas, esta función puede escribirse como $f(z)=e^z$ .