Son las soluciones de $x^{x^{x^{x^{\cdot^{{\cdot}^{\cdot}}}}}}=2$ correcto?

Question

Problema:

Encontrar $x$ en

$$\large x^{x^{x^{x^{ \cdot^{{\cdot}^{\cdot}} }}}}=2$$

Truco:

$x^{x^{x^{x^{\cdot^{{\cdot}^{\cdot}}}}}}=2$, por lo que,

$x^{(x^{x^{x^{\cdot^{{\cdot}^{\cdot}}}}})}=x^2=2$, y,

$x=-\sqrt{2}$ o $x=\sqrt{2}$.

Pregunta:

Son estas soluciones correctas?

Si no, ¿por qué?

Si sí, hay otras soluciones?

(PS.: una extensión de este debate se puede encontrar en Qué nos puede decir acerca de la $-\sqrt{2}^{-\sqrt{2}^{-\sqrt{2}^\ldots}}$?.)

Answer 1

Bien podría...

El poder de la torre de $x^{x^\ldots}$ es equivalente a la función de $\exp(-W(-\log\,x))$ donde $W(z)$ es la función de Lambert, en el rango de $e^{-e}\leq x\leq e^{1/e}$ (como Norbert menciona en los comentarios; véase también la ecuación 13 en el MathWorld entrada vinculada a). $\exp(-W(-\log\,x))$ puede ser invertida, así:

$$\begin{align*} y&=\exp(-W(-\log\,x))\\ -\log\,y&=W(-\log\,x)\\ (\log\,y)\exp(-\log\,y)&=\log\,x\\ \frac{\log\,y}{y}&=\log\,x\\ x&=\exp\left(\frac{\log\,y}{y}\right)\\ x&=\exp\left(\log\,y^{1/y}\right)=y^{1/y} \end{align*}$$

Si $y=2$,$x=\sqrt2$.

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Knoebel de papel, se establece el intervalo de convergencia $[\exp(-e),\exp(1/e)]$ para la alimentación de la torre de la función, en el caso de positivos $z$. El documento señala que una caracterización completa de la región de convergencia de $z^{z^\cdots}$ complejas $z$ que queda por hacer, pero la Espina, Concha (de Shellsort la fama) y otros, han dado resultados parciales. Ver también este papel por Anderson para otra discusión sobre la convergencia de la energía de la torre, en este artículo por Cho y Park, donde se discuten los inversos de la función $z^{1/z}$, y este artículo por Sondow y Marques.

Answer 2

Si existe una solución, usted tiene $$ x^2 = x^{(x^{x^{x^{\cdot^{{\cdot}^{\cdot}}}}})}=2 $$ lo que significa que lo que tienes. (Esta parte se ha mencionado a ser malo para logarítmicas propiedades de uso indebido razones), No tanto de estas no son soluciones, ya que $$ 1 = \log_2(2) = \log_2(x^{x^{\dots}}) = x^{x^{\dots}} \log_2 (x) = 2 \log_2(x) $$ y en el caso $x = -\sqrt 2$, $2\log_2(-\sqrt 2)$ es puramente imaginario, por lo tanto no puede ser $1$. (El logaritmo de $\log_a(b^c) = c\log_a(b)$ parte es la parte que sigue siendo sospechoso. Como N. S. señalado, no creo que este argumento puede ser hecho a la derecha.)

Una manera de sugerir $x=\sqrt 2$ sería mostrar que la secuencia $$ x_n = \sqrt 2^{\dots^\sqrt2} $$ donde exponenciación es tomada $n$ a veces, es estrictamente creciente y acotada arriba por $2$. Evidencia numérica sugiere lo siguiente : a a $n = 20$ he visto que $x_n \le 2$ $x_n$ es cada vez mayor. La convergencia es lenta y muy larga para calcular, aunque. No estoy muy seguro de que podría haber convergencia así que me calculada antes de encontrar un teórico de la prueba. He aquí uno : claramente $x_n$ va en aumento, y $$ x_n^2 = \sqrt 2^{x_{n-1}} \times \sqrt 2^{x_{n-1}} = \sqrt 2^{2x_{n-1}} = 2^{x_{n-1}} \le 4 $$ por inducción, por lo que el $x^n \le 2$ por cada $n$. Dado que el límite existe, debe ser de $\sqrt 2$.

Espero que ayude,

Answer 3

(Esto debería ir como un comentario, pero dudo que puedan caber en el cuadro)

También se debe considerar, si a usted le gusta escribir mejor $\small x$, $\small _bx $ , $\small _{_b}{_b}x $ ,$\small {_{...} } _{_b}{_b}x $ , porque siempre comenzar la evaluación en la parte superior de la powertower y no en la parte inferior. Y luego también es inequívoca para discutir $\small 2= 2 $, $\small 2 = _\sqrt22 $ , $\small 2= _{_\sqrt2}{_\sqrt2}2 $ y $\small 2= {_{...} } _{_\sqrt2}{_\sqrt2}2 $ tal como se evaluó a partir de la parte superior. A continuación, es también correcta de escribir $\small 4= 4 $, $\small 4 = _\sqrt24 $ , $\small 4= _{_\sqrt2}{_\sqrt2}4 $ y $\small 4= {_{...} } _{_\sqrt2}{_\sqrt2}4 $ como una segunda solución. (Esto es claramente no notación estándar, pero yo realmente no sé por qué esto no se convirtió en estándar)

[añadido] Entonces uno podría también escribir $\small 2= \lim {_{...} } _{_\sqrt2}{_\sqrt2}x \text{ for } -\infty \lt x \lt 4$ a la nota de la convergencia de todos los que los valores iniciales de x, y debido a $\small x=\sqrt2 $ está en el rango podemos decir $\small 2= \lim {_{...} } _{_\sqrt2}{_\sqrt2}\sqrt2 $

Answer 4

Esta no es una respuesta.

Es sólo un ayudante para discutir algunas cosas con respecto a la pregunta, porque es demasiado grande para los comentarios.

Se parece a $-\sqrt{2}$ no es una solución de la ecuación, pero no estoy seguro. Parece demasiado, el poder de la torre de un número debe converger sólo en un intervalo de tiempo específico ($[e^{−e},e^{1/e}]$).

Pero el uso de Mathematica y el ProductLog función que la de Lambert $W(z)$ función) nos encontramos con algunas cosas extrañas:

El uso de $h(z)=z^{z^{z^{\ldots}}}=-\frac{W(-\log (z))}{\log (z)}$ (h[z_]:=(-ProductLog[-Log[z]])/Log[z])

El cálculo de la potencia de la torre de a $\sqrt{2}$ hemos N[h[Sqrt[2]], 10]=2.000000000

Y el poder de la torre de a $-\sqrt{2}$ hemos N[h[-Sqrt[2]], 10]=0.2513502988 + 0.3162499180 I

Calcular explícitamente al que, por iteración

${-\sqrt{2}},{-\sqrt{2}}^{{-\sqrt{2}}},{-\sqrt{2}}^{{-\sqrt{2}}^{\ldots}}$ hemos

Table[N[Re[PowerTower[-Sqrt[2], i]], 30] + I*N[Im[PowerTower[-Sqrt[2], i]], 5], {i, 1, 15}] // TableForm

-1.41421356237309504880168872421
-0.163093997943414854921937604558+0.59044 I
 0.140921295793052749536215801866-0.044791 I
 1.10008630700672531426983704055+0.50079 I
-0.268168781568546776692908102136-0.14235 I
 0.894980750563013739735614892750-1.1090 I
-33.5835630157562847787187418023+29.118 I
 6.49187847255812829134661655850*10^-46-1.5181*10^-45 I
 1.00000000000000000000000000000+1.5134*10^-45 I
-1.41421356237309504880168872421-2.2930*10^-44 I
-0.163093997943414854921937604558+0.59044 I
 0.140921295793052749536215801866-0.044791 I
 1.10008630700672531426983704055+0.50079 I
-0.268168781568546776692908102136-0.14235 I
 0.894980750563013739735614892750-1.1090 I

Ploting la real y la parte imaginaria de la función de $h$, tenemos:

Para la parte real:

Plot[Re[N[h[x]], {x, -2, 0}, Epilog -> {PointSize[0.01], Point[{-Sqrt[2], N[Re[h[-Sqrt[2]]]]}]}]

y a la parte imaginaria:

Plot[Im[N[h[x]], {x, -2, 0}, Epilog -> {PointSize[0.01], Point[{-Sqrt[2], N[Im[h[-Sqrt[2]]]]}]}]

Por lo que parece la función converge, pero, lamentablemente no no $2$.

Voy a publicar esto por ahora, pero, tal vez voy a crear una nueva pregunta sólo para el tratamiento de esta convergencia y voy a abrazar una respuesta a partir de aquí.

Por favor si alguien puede aclarar esto un poco, deja un comentario.

Thx.