Complicado de congruencia

Question

Encuentra todos los enteros positivos n tales que $2^{n-1}\equiv n-1\pmod n$.

He probado que no existe ningún tal $n$ % incluso/primer $n$. Ahora sólo tengo que demostrar que no existen extraños $n$ y estoy hecho. (Nota: obviamente $n=1$ trabaja puesto que 1 divide a cualquier número entero)

Answer 1

Si $n > 1$ es impar, entonces es $n-1$ y $> 0$, por lo que si tenemos

$$2^{n-1}\equiv n-1 \pmod{n},$$

entonces hay un elemento (es decir, $2^{(n-1)/2}$) del orden $4$ modulo $n$ y modulo todos prima divisores de $n$. Por lo tanto todos divisores primeros de $n$ deben ser $\equiv 1 \pmod{4}$. $n \equiv 1 \pmod{4}$, Y un elemento de orden $2^{(n-1)/4}$ modulo primeros todos divisores de $8$ $n$. Por lo tanto, todos los divisores de prime de $n$ deben ser $\equiv 1 \pmod{8}$ y $n\equiv 1 \pmod{8}$. Entonces $2^{(n-1)/8}$ es un elemento de orden $16$, $\dotsc$ ad infinitum.