Coeficiente de correlación entre estas dos variables aleatorias

Question

Supongamos que $X$ es real-valued variable de aleatoria normal con media $\mu$y varianza $\sigma^2$. ¿Qué es el coeficiente de correlación entre $X$y $X^2$?

Answer 1

Consejo: Intenta encontrar: $$\frac{E\left[\left(X^2-E\left[X^2\right]\right)\left(X-E\left[X\right]\right)\right]}{\sqrt{E\left[\left(X^2-E\left[X^2\right]\right)^2\right]E\left[\left(X-E\left[X\right]\right)^2\right]}}

Para una distribución normal los momentos crudos son

• $E\left[X^1\right] = \mu$
• $E\left[X^2\right] = \mu^2+\sigma^2$
• $E\left[X^3\right] = \mu^3+3\mu\sigma^2$
• $E\left[X^4\right] = \mu^4+6\mu^2\sigma^2+3\sigma^4$

por lo tanto multiplicar hacia fuera, sustituir y simplificar.

Answer 2

Aquí una manera eficiente de acuerdo con el numerador de la fracción que define la correlación. $$\operatorname{cov}(X,X^2) = \operatorname{cov}\Big((X-\mu)+\mu\ \ (X\mu)^2 + 2\mu(X-\mu) + \mu^2\Big).$$ Ahora podemos tirar la "${}+ \mu$" y "${}+ \mu^2$" al final y hemos $$\operatorname{cov}\Big((X-\mu),\ \ (X\mu)^2 + 2\mu(X-\mu)\Big).$$ A continuación, utilice bilinearity de covarianzas y esto se convierte en: $$\operatorname{cov}(X-\mu, (X-\mu)^2) + 2\mu\operatorname{cov}(X-\mu,X-\mu)).$$ Este es $$0 + 2\mu\sigma^2.$$ El primer término es $0$ debido a que el valor esperado de $X-\mu$ $0$ y la distribución es simétrica alrededor de $0$.

Resumen: $\operatorname{cov}(X,X^2) = 2\mu\sigma^2$.