Creación de funciones generadoras de particiones de números enteros

Question

Digamos que tengo una función generadora $\Phi_\mathcal{A}$ para el conjunto de particiones $\mathcal{A}$ que no tienen partes congruentes con 2 mod 4, y tengo la función generadora para $\Phi_\mathcal{B}$ para el conjunto de particiones $\mathcal{B}$ en la que las partes divisibles por 4 ocurren como máximo una vez, ¿puedo multiplicar las 2 funciones generadoras entre sí para obtener la función generadora de la intersección de $\mathcal{A}$ y $\mathcal{B}$ (es decir, para las particiones que cumplen ambos requisitos)? Y lo que es más importante, ¿es esta una técnica que puedo utilizar para tales condiciones arbitrarias?

La razón por la que lo pregunto es porque mi tarea contiene varias preguntas que requieren que dé la función generadora para particiones que tienen alguna propiedad Y alguna otra propiedad, y quería saber si esta técnica era buena/válida para usar en estos problemas.

Además, ¿existe una técnica similar para dar la función generadora para particiones enteras que tienen alguna propiedad O alguna otra propiedad?

Gracias.

Answer 1

Multiplicarlas no servirá de nada: eso te da la convolución de las secuencias correspondientes. (En realidad, puedes ver que la multiplicación no es correcta si consideras lo que ocurre cuando $\mathcal A=\mathcal B$ : entonces tendrías que tener $(\Phi_{\mathcal A})^2=\Phi_{\mathcal A}\Phi_{\mathcal B}=\Phi_{\mathcal A\cap\mathcal B}=\Phi_{\mathcal A}$ lo que no se puede esperar razonablemente.

En este caso, observe que las condiciones permiten partes Impares no restringidas y restringen las partes pares a múltiplos de $4$ ocurriendo una vez, dándole

$$\prod_{k\ge 1}\frac1{1-x^{2k-1}}\cdot\prod_{k\ge 1}\left(1+x^{4k}\right)=\prod_{k\ge 1}\frac{1+x^{4k}}{1-x^{2k-1}}\;.$$