En la filosofía de la teoría de la categoría

Question

Me ha dicho mi profesor de esa Categoría de la Teoría no es sólo un idioma, pero es un cambio en la manera de pensar. Como ejemplo señaló que en la categoría de la teoría no nos preocupamos de los objetos en sí, sino que el estudio de los morfismos que se refieren a otros objetos. Pero lo que no entiendo es por qué esto es importante.

Por ejemplo, Si yo quiero decir que un grupo es conmutativo, entonces me tome un mapa de $\beta :M \times M \rightarrow M \times M$ cambios$a.b$$b.a$. Entonces me tome la habitual operación binaria mapa decir $\mu $ y, a continuación, la condición es equivalente a decir que el $\mu =\mu \;\mathrm{o}\; \beta$. Puede alguien explicar por qué esto es ventajoso?

Answer 1

$\beta$ es un mapa que tiene sentido en cualquier monoidal simétrica categoría, y puede ser usado para definir lo que significa ser un conmutativa monoid objeto en cualquier categoría. Por ejemplo, si $(\text{Vect}, \otimes)$ es el monoidal simétrica categoría de $k$-espacios vectoriales bajo el producto tensor, luego de un conmutativa monoid objeto es, precisamente, una conmutativa $k$-álgebra. Así que un resultado de este tipo de definición es que puede ser internalizados a los diferentes tipos de categorías, que nos ayuda a ver diferentes definiciones de las matemáticas como los diferentes casos de la misma más definición abstracta.

Ese ejemplo es, en cierto sentido, obvio, pero he aquí una menos obvia. En álgebra homológica, topología algebraica, etc. te implícitamente sigue corriendo en el monoidal simétrica categoría de $\mathbb{Z}$-graduada de espacios vectoriales, con lo que quiero decir $\mathbb{Z}$-indexada secuencias de $V_n$ de los espacios vectoriales. El monoidal estructura está dada por

$$(V \otimes W)_n = \bigoplus_{i + j = n} V_i \otimes W_j$$

y así un monoid objeto es, precisamente, una $\mathbb{Z}$-graduada de anillo. Ahora, ¿cuál es la monoidal simétrica estructura? Una obvia monoidal simétrica estructura dada por

$$\beta : V_i \otimes W_j \ni v \otimes w \mapsto w \otimes v \in W_j \otimes V_i$$

con respecto a que un conmutativa monoid objeto es, precisamente, una $\mathbb{Z}$-graduado anillo conmutativo; estos no se muestran, por ejemplo, en la geometría algebraica cuando la definición de variedades proyectivas. Pero hay otra, más interesante monoidal simétrica estructura dada por

$$\beta : V_i \otimes W_j \ni v \otimes w \mapsto (-1)^{ij} w \otimes v \in W_j \otimes V_i$$

con respecto a que un conmutativa monoid es un graduado conmutativa o super conmutativa $\mathbb{Z}$-graduada de anillo; esto se llama el "Koszul signo de la regla", y en muchas partes de las matemáticas es totalmente ineludible. Por ejemplo, cohomology anillos son siempre graduales conmutativa.

Ahora, usted puede aprender acerca de graduado conmutatividad como la definición por separado, pero si usted sabe que es sólo conmutatividad con respecto a un divertido monoidal simétrica estructura, entonces usted puede escribir pruebas donde se pretende que es el mismo que el ordinario de la conmutatividad, excepto que donde quiera que normalmente interruptor de dos elementos, en lugar de aplicar $\beta$. También hay un montón de otros tipos de estructuras que se pueden internalizar mediante el uso de $\beta$ que obtiene automáticamente las señales correctas de poner en sus axiomas de esta manera, por ejemplo, álgebras de Lie.

Answer 2

Escribir la definición de un grupo, por ejemplo, en términos de flechas y conmutativa diagramas en lugar de los conjuntos y elementos que permite generalizar el concepto de un grupo en la categoría de conjuntos a otras categorías. Por ejemplo, una Mentira grupo es un grupo en la categoría de suave colectores, y un grupo topológico es un grupo en la categoría de espacios topológicos.

Ver este nlab artículo para la definición completa de un grupo de "objeto" en términos de flechas y diagramas.