Extensiones de la integradas: un primer miente sobre implica igual localización

Question

He aquí un problema de Matsumura, el libro "Conmutativa anillo de la teoría de la" página de $69$.

Deje $A$ ser un anillo y deje $A \subset B$ ser una parte integral de extensión, y $\mathfrak{p}$ un primer ideal de $A$. Supongamos que $B$ tiene sólo un primer ideal $P$ se encuentra por encima del $\mathfrak{p}$. A continuación,$B_{P}=B_{\mathfrak{p}}$.

Solución (página $290$):

$B_{\mathfrak{p}}$ integral $A_{\mathfrak{p}}$, por lo que cualquier ideal maximal de a $B_{\mathfrak{p}}$ se encuentra sobre $\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}$ y por lo tanto coincide con $PB_{\mathfrak{p}}$. Por lo tanto $B_{\mathfrak{p}}$ es un anillo local y los elementos de $B \setminus P$ son unidades de $B_{\mathfrak{p}}$.

No entiendo la prueba. Montón de preguntas:

1) Donde dice "cualquier ideal maximal de a $B_{\mathfrak{p}}$ se encuentra sobre $\mathfrak{p}A_{p}$ , ¿por qué es esto? Y no es $B_{\mathfrak{p}}$ un anillo local? entonces, ¿por qué la expresión de cualquier ideal maximal de a $B_{\mathfrak{p}}$?

2) a Continuación, se dice por lo tanto $B_{\mathfrak{p}}$ es un anillo local. No es la localización siempre es un anillo local?

3) Es posible que usted puede por favor dar otra prueba de que el ejercicio (o explicar en detalle)? Estoy realmente confundido acerca de esta prueba.

Gracias

Answer 1

Primero de todo, cabe señalar que el $B_{\mathfrak{p}}$ es la localización de la $A$ módulo de $B$$\mathfrak{p}$. Es isomorfo al anillo de $A_{\mathfrak{p}} \otimes_A\ B$ $A$ módulo. No es necesario que sea el caso de que $\mathfrak{p}$ es un primer ideal de $B$, por lo tanto para localizar $B$ $\mathfrak{p}$ como un anillo no tiene sentido (para $B -\mathfrak{p}$ no sería un multiplicatively conjunto cerrado). Esto debería aclarar su confusión acerca de la $B_{\mathfrak{p}}$ no es un a priori de ser un anillo local.

Que cualquier ideal maximal $\mathfrak{m}$ $B_{\mathfrak{p}}$ se encuentra sobre $\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}$ es un resultado estándar utilizado para acreditar la subida teorema. Dado que el $B_{\mathfrak{p}}$ integral $A_{\mathfrak{p}}$, entonces tenemos que $B_{\mathfrak{p}} /\mathfrak{m}$ integral $A_{\mathfrak{p}}/(\mathfrak{m}\cap A_{\mathfrak{p}})$. Pero $B_{\mathfrak{p}} /\mathfrak{m}$ es un campo, por lo $A_{\mathfrak{p}}/(\mathfrak{m}\cap A_{\mathfrak{p}})$ debe ser uno así, ¿de dónde $\mathfrak{m}$ se encuentra sobre $\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}$ ya que este es el único ideal maximal de a $A_{\mathfrak{p}}$.