El llamado "1-ciclo" en el Collatz-problema ya fue desmentido por Ray Steiner 1977. Sin embargo, él utiliza trascendental de la teoría de números para conseguirlo, y Lagarias comentado, es sorprendente que tales armas pesadas son necesarios para que un pequeño resultado.
Creo que tengo una primaria prueba ahora, pero por lo general en la Collatz problema de sus pruebas son defectuosos, así que mejor pedir un chequeo cruzado.
Como se propone en la BMV.meta voy a poner el problema de la descripción en esta pregunta y publicar mi intento de prueba en una propia respuesta.
La noción de 1-ciclos de comenzar con la definición de aumento de pasos $a_{k+1} = {3a_k +1\over 2} $ si $a_k$ es impar y la disminución de pasos $a_{k+1} = {a_k\over 2} $ si $a_k$ es incluso.
Si tenemos en cuenta el tipo simple de un ciclo, que se produce si $N$ el aumento de los pasos son seguidos por $B$ disminución de pasos, entonces vamos a llamar a este con Steiner, Simons, de Weger y otros el "1" ciclo de longitud $S=N+B$.
Con Steiner, podemos afirmar, que un número inicial de una que deseamos aumentar en N pasos debe tener la forma $a = 2^N \cdot k -1$ para cualquier entero $k \gt 0$ . El resultado de esa transformación, al que llamaremos b tiene la forma $b=3^N \cdot k -1 $ con el mismo parámetro k. Si b se transformaron por B la disminución de pasos y llega a c , entonces c tiene la forma $c={3^N \cdot k\ - 1 \over 2^B}$ Si $c=a$, entonces tenemos un ciclo y este es el "1-ciclo".
Ahora la identificación de un con c esto le da a la "crítica de la fórmula"
$$ \tag{1.0} 2^N\cdot k - 1 = {3^N \cdot k -1 \over 2^B}$$
Simplemente cambiando da la más centrado formulario que aparece (el uso de letras diferentes) en J. Simón paráfrasis de R. Steiner está la prueba:
$$ \tag{1.1} (2^S - 3^N)\cdot k = 2^B - 1 $$
donde también se $S$ es introducido como $S=N+B$ $2^S \gt 3^N$ se entiende. A continuación, la instrucción correspondiente es:
Para un 1-ciclo de cualquier longitud $N$ a existir debemos tener una solución en los enteros positivos $(N,S,B,k,a)$ en eq. (1.1) .
$\qquad \qquad$ (los otros dos útiles representaciones de los críticos de la ecuación son $$ \pequeño (2^S - 3^N)\cdot k = (2^S - 2^N )/2^N \quad , 2^S \gt 3^N \quad \text{ o }\\ \pequeño 2^B = {2^S\más de 2^N}={3^N \cdot k -1 \más de 2^N\cdot k-1}$$
El uso de los resultados de trascendental de la teoría de números y racional de la aproximación lineal de las formas de logaritmos Steiner demostrado, que no es $2^B$ satisfactorio que la fórmula excepto $B=1$,$N=1$,$k=1$ y $ a=1, b = 2 = {3a+1\over 2}, a=1={b \over 2} $, lo que se llama el "trivial ciclo".
Pregunta: ¿cómo puede ser probado por la primaria significa, que la fórmula (1.1) no haya otras soluciones?
En realidad, esta pregunta está pidiendo ayuda: para comprobar mi prueba de tentativa, que voy a estado en una respuesta a continuación.
El Steiner-la prueba no está en línea, pero John Simons ha utilizado cuando él extendió la Steiner-método para el 2-ciclo. Su artículo que contiene una paráfrasis es en línea en AMS . Tenga en cuenta que el uso de letras diferentes para las variables a ser coherente con mis propios mayores discusiones
[Añadido]: Empíricamente, la última muestra de la forma de la crítica de la ecuación nunca puede ser satisfecho por $N \gt 1, k \ge 1$ debido a la rhs cae empíricamente entre el fuerte de los límites
$$ \small {3^N\over 2^N} \lt {3^N \cdot k -1 \over 2^N\cdot k-1} \lt \Big\lceil {3^N \over 2^N} \Big\rceil \qquad \text{ for }K=1 \ldots \infty$$
(y por lo tanto nunca se llega al siguiente entero por encima de $(3/2)^N$), donde el derecho de la desigualdad se conforma con que conjeturó atado en el Waring-problema, pero que aún no está comprobada.
