Haré el resultado para la cohomología singular. Como ha señalado @Phil, el soporte de Rham y el compacto son duales. De hecho, este resultado se extiende mucho más allá de la cohomología singular, y se mantendrá si se sustituye $H^*$ con cualquier complejo orientable generalizado ( $G$ -equivariante) la teoría de la cohomología $E_{G}^*$ . Recordemos algunos datos rápidos:
Thom Spaces
Dejemos que $\xi = p: E(\xi) \to B(\xi)$ sea un rango- $n$ ( $G$ -equivariante) del haz vectorial. Hay dos formas de pensar en el espacio Thom $Th(\xi)$ de $\xi$ .
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La primera es utilizar una partición de la unidad para dar $E$ una métrica, y que $D(\xi)$ sea la unidad de disco-fondo asociada a $\xi$ . Del mismo modo, toma $S(\xi)$ para ser el haz de esferas asociado, y definir el espacio Thom $Th(\xi) = D(\xi)/S(\xi)$ .
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Dejemos que $E_0(\xi)$ sea el complemento de la imagen de la sección cero $z: B(\xi) \to E(\xi)$ en $E(\xi)$ . Definir el espacio Thom al ser par relativo $(E(\xi), E_0(\xi))$ .
Para ver que son equivalentes en homotopía, observe que el siguiente diagrama es conmutativo. $$ \require{AMScd} \begin{CD} S(\xi) @>>> D(\xi) @>>> (Th(\xi), \text{pt})\\ @V{\simeq}VV @V{\simeq}VV @V{\phi}VV \\ E_0(\xi) @>>> E(\xi) @>>> (E(\xi),E_0(\xi)) \\ {} @V{p}VV \\ {} @. B \end{CD} $$
Ahora, utilizando el (corto) 5-Lema, concluimos que $\phi$ es una equivalencia homotópica.
El isomorfismo de Thom: Si $\xi = p: E(\xi) \to B(\xi)$ es un rango orientable- $n$ haz de vectores, entonces existe una clase $\tau \in H^n(Th(\xi))$ tal que $\Phi: H^*(B(\xi)) \to H^{*+n}(Th(\xi))$ dado por $\Phi(\eta) = p^*(\eta) \cup \tau$ es un isomorfismo.
La larga secuencia exacta de la cohomología relativa
Recordemos que para un espacio topológico $X$ y un ( $G$ -equivariante) subespacio $Y$ tenemos una secuencia de inclusiones relativas $$(Y,\emptyset) \hookrightarrow (X,\emptyset) \hookrightarrow (X,Y)$$ que induce una larga secuencia exacta en cohomología relativa $$ \cdots\longrightarrow H^*(X,Y) \longrightarrow H^*(X) \longrightarrow H^*(Y) \longrightarrow\cdots$$ que los morfismos de conexión adecuados.
El teorema de la escisión: Si $U \subseteq Y \subseteq X$ son topológicos ( $G$ -invariante) tales que el cierre de $U$ está contenida en el interior de $V$ entonces existe un isomorfismo $$H^*(X,Y)\cong H^*(X\setminus U, Y\setminus V)$$
La secuencia de Thom Gysin
Dejemos que $T$ sea una vecindad tubular de $Y$ en $X$ para que $T = \iota(\nu_X Y)$ donde $\iota: \nu_XY \hookrightarrow X$ es una incrustación del haz normal $\nu_XY$ en $X$ . El rango de $\nu_X Y$ es la codimensión de $Y$ en $X$ que fijamos en $d$ . Ahora bien, fíjate en que $X\setminus T$ está cerrado, $X \setminus Y$ está abierto, y $X \setminus T \subseteq X \setminus Y$ por lo que ciertamente los subespacios $X \setminus T \subseteq X \setminus Y \subseteq X$ satisfacen la hipótesis del teorema de la escisión. Excisión $X \setminus T$ de $(X, X \setminus Y)$ obtenemos
$$ X \setminus (X\setminus T) = X \cap T = T, \qquad (X \setminus Y)\setminus(X \setminus T) = X\setminus Y \cap T = T \setminus Y.$$
Observe que $Y$ es isomorfo a la sección cero $\iota \circ z: Y \to \nu_X Y \to T$ de modo que aplicando el teorema de la escisión, y luego utilizando el isomorfismo de Thom, obtenemos $$ H^*(X, X \setminus Y) \cong H^*(T, T\setminus Y) \cong H^*(\nu_XY, (\nu_XY)_0) \cong H^{*-d}(Y).$$ donde $(\nu_XY)_0$ es el complemento de la sección cero.
Introduciendo esto en nuestra larga secuencia exacta de cohomología relativa
$$ \cdots\longrightarrow \underbrace{H^{*}(X, X\setminus Y)}_{\cong H^{*-d}(Y)} \longrightarrow H^*(X) \longrightarrow H^*(X\setminus Y) \longrightarrow\cdots$$
