Ayudar a probar que una función es diferenciable continuamente

Question

Para tener una función $$f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ that's differentiable at x=0 and for $x, \in \mathbb{R}$ y permita que esto sea cierto: $$f(x+2y)=2f(x)f(y)$ $

¿Cómo puedo probar que esta función es continuamente diferenciable? Pensé que podía usar cualquiera de estos teoremas: de Lagrange y de Rolle, pero no sé que y ¿cómo, tal vez debo mostrar en un principio se differentable y luego que derivado es continuo?

Answer 1

Que $x \in \mathbb{R}$. Queremos mostrar que $\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ existe.

Calculamos

$\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \frac{f(x+2h/2)-f(x + 0)}{h} = \frac{2f(x)f(h/2)-f(x)f(0)}{h}= f(x)\frac{f(h/2)-f(0)}{h}=f(x)\frac{f(\tilde{h})-f(0)}{2\tilde{h}} = \frac{f(x)}{2}\frac{f(\tilde{h})-f(0)}{\tilde{h}}$.

Para que el % de límite $\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$es igual a $\frac{f(x)}{2} f'(0)$.

Como $f$ es continua, esto también implica que el $f'$ es continua ya que tenemos $f'(x) = \frac{f(x)}{2} \cdot f'(0).$

Answer 2

Creo que esto sólo es posible si $f(x)$ es constante para todos los valores de $x$.

1. Tome $y=0$ y deje $x$ ser arbitraria. Entonces $$f(x+2\cdot 0) = 2f(x)f(0)$$ which means $f(x)=2f(x)f(0)$ for every $x\in\mathbb R$. Now, if $f(x)=0$ for every $x$, we are done. Otherwise, take some $x$ such that $f(x)\neq 0$, and divide the equation by $f(x)$ to get $1=2f(0)$ or $f(0)=\frac12$.

2. Tome $x=0$ y deje $y$ ser arbitraria. Entonces $$f(0+2y)=2f(0)f(y)$$ which means that $f(2y)=2f(0)f(y)$ for every $s\in\mathbb R$. From 1., we know that $2f(0)=1$, so we have that for every $y\in\mathbb R$, you have $f(2y)=f(y)$.

El uso de la regla de $f(y)=f(2y)$, podemos mostrar de forma inductiva que por cada $x\in\mathbb R$ y cada una de las $n\in\mathbb N$, $$f(x)=f\left(\frac{x}{2^n}\right)$$

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Esta última igualdad, junto con el hecho de que $f$ es continua en a $0$ (porque si es diferenciable, es también continua), puede ser usado para demostrar que $f(x)=f(0)$ por cada $x\in\mathbb R$:

1. Deje $x\in\mathbb R$ ser arbitraria, y deje $\epsilon > 0$. Entonces, existe alguna $\delta$ tal que $|f(y)-f(0)|<\epsilon$ si $|y|<\delta$ (continuidad en $0$).
2. Deje $n$ ser tal que $\overline x = \frac{|x|}{2^n}<\delta$. Entonces sabemos que el $|f(\overline x) - f(0)| < \epsilon$.
3. Entonces, desde el $f(x)=f(\overline x)$,$|f(x)-f(0)|<\epsilon$.
4. En el principio, la elección de $\epsilon$ fue arbitraria. Esto significa que $|f(x)-f(0)|<\epsilon$ para cada valor de $\epsilon$, algo sólo posible si $f(x)=f(0)$

Desde $x$ es arbitrario, $f(x)=f(0)$ es verdadero para todos los $x$.