Estoy buscando un panorama tratamiento algebraico de la K-teoría y por qué es importante. He visto varias definiciones abstractas (Quillen del plus y P construcciones, algunas espectral de construcciones, como Waldhausen) y una gran cantidad de trabajo dedicado para el cálculo en casos especiales, por ejemplo, la extracción de información acerca de la K-teoría de Hochschild y cíclico de homología. Como lo que yo puedo decir, K-teoría es extremadamente difícil de calcular, que produce profundas información acerca de una categoría, y en algunos casos, esto produce altamente no trivial resultados en aritmética o colector de topología. He sido incapaz de pieza de estos resultados en una imagen coherente de por qué uno podría pensar K-teoría es la herramienta adecuada para el uso, o por qué alguien querría saber que, por ejemplo, K22(Z) tiene un elemento de orden 691. Explicaciones y consejos para leer la literatura sería muy apreciada.
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Algebraica de K-teoría se originó en el clásico de los materiales que conecta los grupos de la clase, de la unidad de los grupos y los factores determinantes, Brauer grupos, y cosas relacionadas para los anillos de enteros, campos, etc, e incluye una gran cantidad de lo local a lo global principios. Pero esa es la motivación original y no el modo en que el trabajo en el campo está actualmente en marcha - a partir de tu pregunta parece que te estás preguntando acerca de la motivación para la "mayor" algebraica de K-teoría.
Desde la perspectiva de homotopy teoría algebraica de K-teoría tiene una cierta universalidad. Una categoría monoidal simétrica estructura tiene una clasificación de espacio, o de los nervios, que precisamente hereda un "coherente" la multiplicación (un E_oo-estructura de espacio, para ser exactos), y un objeto tiene una forma natural de grupo asociado de finalización. Esta es la K-teoría de objetos de la categoría, y la K-teoría es, en cierto sentido, el universal functor que toma una categoría monoidal simétrica, la estructura y la convierte en una estructura aditiva. La K-teoría de la categoría de conjuntos finitos captura estable homotopy grupos de esferas. La K-teoría de la categoría de espacios vectoriales (debidamente topologized espacios de endomorphisms) captura complejo o real topológica de la K-teoría. La K-teoría de determinadas categorías asociadas a los colectores de los rendimientos de la información muy sensible sobre estructuras diferenciables.
Una perspectiva de los anillos es que usted debe estudiar con ellos a través de su módulo de categorías, y algebraica de K-teoría universal, cosa que hace esto. El Q-construcción y Waldhausen del S.-construcción son souped up para incluir extra estructura como universalmente giro de una familia de mapas en equivalencias, o universalmente la división de ciertas nociones de secuencia exacta. Pero estos son de pago.
También es aplicable a la dirección general de los anillos o estructurado anillo de los espectros, y es una de las pocas formas que tenemos para extraer la aritmética de los datos de algunos de ellos.
Y sí, es muy difícil de calcular, en cierto sentido, porque es universal. Pero se generaliza mucho de los fenómenos que fueron útiles en la extracción de la aritmética de la información de los anillos en la parte inferior algebraica de K-grupos y así, creo que es generalmente aceptado como el "derecho" de generalización.
Todo esto es vaga cosas, pero espero que al menos te hacen sentir que algunos de nosotros de estudio no sólo porque "allí".
Creo que un punto clave es que algebraicas K-teoría no sólo se define para los anillos, pero también de los esquemas (y otros tipos de "generalizada de los espacios" en la geometría algebraica). Si usted cree que generalizada (Eilenberg-Steenrod) cohomology las teorías son útiles, interesante, topología algebraica, entonces también es razonable pensar que podría ser interesante a la geometría algebraica, y algebraica de K-teoría es, en cierto sentido, el más simple y el más ampliamente estudiado dicha teoría, aunque sí, los cálculos son muy duros.
Alguna otra motivación:
Algebraica de K-teoría permite que hable acerca de la característica de las clases de vector de paquetes en sistemas, con valores en diversos cohomology teorías, véase, por ejemplo, Gillet: K-teoría y la geometría algebraica.
Algebraica de K-teoría está íntimamente conectado con motivic cohomology y algebraicas de los ciclos, véase, por ejemplo, Friedlander del CIFT conferencias disponibles en su página web, especialmente la 5ª conferencia sobre Beilinson la visión: http://www.math.northwestern.edu/~eric/conferencias/ictp/
Uno de los temas principales en la aritmética geometría es el estudio de los valores especiales de motivic L-funciones. Estos valores de la captura de una gran cantidad de profunda aritmética de los invariantes de los campos de número y variedades sobre los campos de número, y que parecen estar misteriosamente relacionado con muchas otras cosas, por ejemplo las órdenes de estable homotopy grupos de esferas. Hay muchos resultados y conjeturas acerca de estos valores, el más famoso de la Arcilla del Milenio de Abedul-Swinnerton-Dyer conjetura, y en muchas versiones de estas conjeturas, algebraica de K-teoría juega un papel crucial. Véase, por ejemplo, la encuesta realizada por Bruno Kahn en la K-teoría manual, también availably en su página web: http://people.math.jussieu.fr/~kahn/memorias/kcag.pdf
También hay muchas otras cosas útiles en la K-teoría manual, tales como las conferencias de Gillet en la K-teoría y en la intersección de la teoría, también disponible aquí: http://www.math.uic.edu/~henri/memorias/K-Theory_Chow_Groups-6.pdf
En primer lugar, recordemos el lema:
Pequeñas construcciones son buenas para hacer los cálculos, pero las grandes construcciones son buenas para la demostración de teoremas.
K-teoría es sin duda una de las grandes constructoras.
En general, la K-teoría parece girar en topología cuando el siguiente lema se tiene:
La cadena de compex buena; homología mal.
Usted a menudo puede construir exactamente el mismo invariante con los K-teoría o sin, pero la K-teoría hace que el extra de la estructura de la cadena complejo visibles (como la dualidad de Poincaré), lo que hace que sea posible para demostrar teoremas. Como una de pocas dimensiones topologist, el ejemplo que tengo en mente es Ranicki simétrico de la firma. Más fundamentalmente, la observación clave en Milnor de la prueba que el polinomio de Alexander es capicúa es que si se construye, a partir de la cadena complejo mediante el uso de Reidemeister, la torsión, la dualidad de Poincaré se hace evidente. Del mismo modo, el Blanchfield de emparejamiento (vinculación de emparejamiento en el infinito cíclica de la cubierta de un nudo complemento) puede ser construida como la simétrica de la firma (L-teoría), que te permite ver la dualidad de Poincaré.
Esto parece completamente normal. Usted puede aplastar todo en la dimensión media y obtener información (de la Pared de la finitud obstrucción; Alexander polinomio; Branchfield de emparejamiento...) o se puede utilizar una gran K-teórico de la construcción para obtener la misma información de una manera que preserva la cadena de contexto complejo de la que proviene, que revela las propiedades que vienen de la clasificación.
Sugiero mirar la introducción a Waldhausen del documento original sobre algebraica de K-teoría Algebraica de K-teoría generalizada de productos libres de, Parte I, Ann. Math., 108 (1978) 135-204).
Waldhausen que comenzó como una 3-variedad teórico, y se dio cuenta de que ciertos fenómenos en la topología de las 3-variedades podría explicarse si la Whitehead grupos de clásico nudo grupos eran triviales. Así que se dispuso a probar esta, y para ello ha desarrollado una gran cantidad de métodos para tratar con K-grupos (incluyendo su definición involucra el S. de la construcción). El enfoque básico aquí es que la Whitehead grupo es el cokernel de la asamblea mapa, que es un mapa $$H_*(BG; K(Z)) \to K_* (R[G]).$$ Aquí $G$ es un grupo (por ejemplo, la fundamantal grupo de un nudo complemento), $R$ es algo de anillo (por ejemplo,$\mathbb{Z}$), y $R[G]$ es el anillo de grupo. La homología de la izquierda es la homología de la teoría representada por la (no-conjuntivo) $K$-teoría del espectro.
El estudio de la asamblea mapas para el grupo de los anillos es un área donde la $K$-teoría de los cálculos mirar un poco más organizado, uno tiene la esperanza de demostrar que $K$-teoría del grupo de los anillos es en realidad una homología de la teoría, es decir, que la asamblea mapa es un isomorfismo. Por supuesto, esta homología de la teoría en sí es bastante complejo, ya que implica la $K$-teoría de algunos ring $R$!
