Desigualdad integral dimensional infinita

Question

Deje $f \colon \mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ser una función medible. Me gustaría demostrar la siguiente desigualdad:

$$\left(\int_{\mathbb{R}}\left\lvert \int_0^t f(s, x)\,ds\right\rvert^q\, dx \right)^{\frac{1}{q}} \le \int_0^t \left(\int_{\mathbb{R}}\lvert f(s, x)\rvert^q\,dx\right)^{\frac{1}{q}}\, ds, $$

bajo el mínimo suposición de que todas las integrales sentido y el término de la derecha de arriba es finito. La idea era volver a escribir la desigualdad de esta manera

$$\left\lVert \int_0^t f(s,\cdot)\, ds\right\rVert_q \le \int_0^t \lVert f(s, \cdot) \rVert_q\, ds,$$

que se ve así que, obviamente, es verdad... Pero me temo que de algún peligro aquí. De hecho, no podemos garantizar la continua dependencia de $f$ en la primera variable, por lo $\int_0^t f(s, \cdot)\, ds$ no es el habitual de Riemann integral en un espacio de Banach.

¿Qué piensa usted: es que este enfoque conduce a algún lugar, o mejor sería probar con la otra? (De las cuales, sólo en el caso? :-) )

EDIT: Respuesta He encontrado una muy satisfactoria respuesta de Hardy-Littlewood-Polya las Desigualdades (@Willie Wong: ¡gracias!). Me alegro de que lo exponga aquí (con un lenguaje ligeramente diferente, en el caso de que se le pregunte).

Teorema Deje $\Omega_t, \Omega_x$ $\sigma$- finito medir espacios y $f \colon \Omega_t \times \Omega_x \to [0, \infty]$ ser una función medible. Si $1 < p < \infty$ $$\left\lVert \int_{\Omega_t} f(s, \cdot)\, ds\right\rVert_p \le \int_{\Omega_t}\lVert f(s, \cdot) \rVert_p \,ds,$$ donde $\lVert \cdot \rVert_p$ se refiere a $L^p(\Omega_x)$.

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Lema Deje $\Omega$ $\sigma$- finito medir el espacio y $J \colon \Omega \to [0, \infty]$ una función medible. Si $1 < p < \infty$$F \ge 0$, entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. $\lVert J \rVert_p \le F$;
2. $\forall g \in L^{p'}(\Omega), g \ge 0, \int_{\Omega} g^{p'}dx \le 1$ tenemos $\int_{\Omega}Jg\, dx \le F$.

La prueba del Teorema Vamos $J(y)=\int_{\Omega_t}f(s, y)\, ds$. $J$ es un efecto positivo de la función en $\Omega_x$. Tome $g \in L^{p'}(\Omega_x), g \ge 0, \int_{\Omega_x}g(y)dy \le 1$. Entonces por el teorema de Fubini y Hölder la inequidad que tenemos

$$\int_{\Omega_x}J(y)g(y)\, dy = \int_{\Omega_t}ds \int_{\Omega_x}f(s, y)g(y)dy\le \int_{\Omega_t}\left(\int_{\Omega_x}f(s, y)^p dy\right)^{\frac{1}{p}}\, ds, $$

es decir, $\int_{\Omega_x}J(y)g(y)dy\le \int_{\Omega_t} \lVert f(s, \cdot) \rVert_p\, ds$ $\lVert J \rVert_p \le \int_{\Omega_t} \lVert f(s, \cdot)\rVert_p\, ds$ por el lema. ////

El principio general aquí es muy interesante: si desea probar una desigualdad como $\int J^p\, dx \le \text{something}$, usted puede conseguir más allá de ese molesto exponente $p$ demostrando $\int Jg\, dx \le \text{something}$ a todos los $g$.

Referencias de Hardy-Littlewood-Polya, las Desigualdades: mi Teorema es su Teorema 202, mi Lema es su Teorema 191.

Answer 1

Así que, lo primero es intentar establecer

$$f(x,t) = \sum_{j = 1}^N g_j(x) 1_{F_j}(y)$$

para pares discontinuo $F_j$. Para ello, la desigualdad es fácil de verificar.

Ahora nos gustaría tener límites, pero la pregunta es: Son funciones medibles pointwise límites de la función de la forma de $f$? Resulta que este es el caso, como ha sido demostrado por Nate Eldredge en una pregunta de la mina (traté de demostrar la misma). Secuencia de funciones medibles.