Dibujo todas las funciones continuas utilice el teorema del valor intermedio

Question

Pregunta: Esbozo todas la funciones continuas $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ que cumplan\begin{equation*} (f(x))^2=(x-1)^2 (x-2)^2. \end{ecuación *} justificar sus respuestas.

He encontrado las ocho posibles funciones continuas como sigue:\begin{align*} f(x) & =(x-1)(x-2)\\ f(x) & =-(x-1)(x-2)\\ f(x) & =|x-1|(x-2)\\ f(x) & =-|x-1|(x-2)\\ f(x) & =(x-1)|x-2|\\ f(x) & =-(x-1)|x-2|\\ f(x) & =|x-1| |x-2|\\ f(x) & =-|x-1| |x-2|. \end{align*} y tengo la conclusión de esta cuestión que tiene a más de ocho posibles tales funciones, pero como prueba la declaración "a más".

Answer 1

Cualquier tal función $f$ tiene que desaparecer en $x=1$ y $x=2$ y en ninguna otra parte. Por lo tanto el signo de $f$ tiene que ser constante en cada uno de lo intervalos $\ ]{-\infty},1[\ $, $\ ]1,2[\ $, $\ ]2,\infty[\ $. Se deduce que tiene exactamente dos opciones para el gráfico de $f$ en cada uno de estos intervalos. Como el valor en las ensambladuras es $0$ sigue que $f$ automáticamente será continua para cualquier elección. En particular se le permite tomar las decisiones de forma independiente. Esto da un total de $2^3=8$ posibilidades.