En respuesta a mi propia pregunta, la igualdad puede ser muestra de la siguiente manera. En primer lugar, nos damos cuenta de que $\int_0^{2\pi}\int_0^b\int_0^b r_1r_2\frac{J_1\left (\alpha\sqrt{r_1^2+r_2^2-2r_1r_2\cos(\theta)}\right )}{\alpha\sqrt{r_1^2+r_2^2-2r_1r_2\cos(\theta)}} dr_1dr_2d\theta\\=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\int_0^{2\pi}\int_0^b\int_0^b r_1r_2\frac{J_1\left (\alpha\sqrt{r_1^2+r_2^2-2r_1r_2\cos(\theta_1-\theta_2)}\right )}{\alpha\sqrt{r_1^2+r_2^2-2r_1r_2\cos(\theta_1-\theta_2)}} dr_1dr_2d\theta_1d\theta_2$
A partir de aquí nos damos cuenta de que $\sqrt{r_1^2+r_2^2-2r_1r_2\cos(\theta_1-\theta_2)}$ es la distancia entre dos puntos en la circunferencia de radio $b$. Deje que la distancia se denota como $L$.
Entonces tenemos
$\frac{1}{2\pi}\iint_{A_1}\iint_{A_2}\frac{J_1(\alpha L)}{\alpha L} dA_1 dA_2$.
Podemos escribir esto como
$\frac{(\pi b^2)^2}{2\pi}\int_0^{2b}\frac{J_1(\alpha L)}{\alpha L}p(L) dL$ donde $p(L)$ es la densidad de probabilidad de elegir a dos puntos de distancia $L$ dentro de un círculo de radio de $b$. Esta densidad de probabilidad es conocida. Véase, por ejemplo, la ecuación (5) de Ricardo García-Pelayo, 2005 J. Phys. R: Las Matemáticas. Gén. 38 3475 doi:10.1088/0305-4470/38/16/001 y las referencias allí contenidas.
Tenemos $p(L)=\frac{L}{\pi b^2}\left ( 4\cos^{-1}[d/(2b)]-L\sqrt{4b^2-L^2}/b^2 \right ), 0\leq L \leq 2b$
La integral de ahora pueden ser fácilmente evaluados y se da la necesaria igualdad.
Esta técnica se puede utilizar en cualquier momento el integrando es una función de sólo una parmater, como L en este caso.
