¿$f$ no constante en $\mathbb R$ tal que para cualquier métrica $d$ $\mathbb R$ $f:(\mathbb R,d)\to (\mathbb R,d)$ es continuo, es la identidad de $f$?

Question

Deje $f:\mathbb R \to \mathbb R$ ser una función constante tal que para cualquier métrica $d$ en $\mathbb R$ , $f:(\mathbb R,d)\to (\mathbb R,d)$ es continua , entonces es $f$ la función identidad es decir $f(x)=x, \forall x \in \mathbb R$ ?

[ background : Similar en espíritu a la presente Para caracterizar innumerables conjuntos en los que existe una métrica que makles el espacio conectado , es fácil ver que si $f:\mathbb R \to \mathbb R$ es una función tal que para cualesquiera dos métrica $d_1,d_2$ en $\mathbb R$ , $f:(\mathbb R,d_1) \to (\mathbb R,d_2)$ es continua , y luego tomar las $d_2$ a de ser discretos métrica y $d_1$ a ser métrica euclidiana , $f$ se ve que ser constante . Así que me preguntaba ¿qué pasaría si queremos que la misma métrica en tanto el dominio y el co-dominio , en este caso no he sido capaz de hacer cualquier progreso ; las técnicas utilizadas en ¿existe una métrica $d$ $\mathbb R$ de manera tal que el mapa $f:(\mathbb R,d) \to (\mathbb R,d)$ ; $f(x)=-x$ no es continua? parece ser bastante especial , sólo la celebración de la función en particular,$f$ ... ]

Answer 1

La segunda cuestión que enlaza te permitirá responder a la pregunta, creo. Lo que están pidiendo $f$ es mucho, por lo que [si lo que estoy diciendo es correcto] f probablemente debe ser la identidad de la función o constante.

Supongamos que no. Entonces, como $f$ es continua con la métrica Euclidiana, y hay un punto de $x_o$ donde $f(x_0) \neq x_0$, hay toda una bola de $B$ $x_0$ donde $f(x)\neq x\ \forall\ x \in B$.

Para simplificar, voy a asumir que $f$ no es constante en $B$. Podría ser, pero el argumento puede ser fijo de todos modos (dime si me quieres solucionarlo).

Pick $x_1,x_2 \in B$, de modo que las imágenes son diferentes. Entonces, por Bolzano en $\mathbb{R}$ con la métrica Euclidiana, $f$ toma todos los valores intermedios de allí. Ahora, usted puede usar los mismos argumentos que se utilizaron aquí No existe una métrica $d$ $\mathbb R$ de manera tal que el mapa $f:(\mathbb R,d) \to (\mathbb R,d)$ ; $f(x)=-x$ no es continua?.

Answer 2

Deje $g \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ cualquier bijection y definir una métrica $d_g(x,y) = d(g(x),g(y))$ donde $d$ es el estándar de la métrica en la $\mathbb{R}$. A continuación, la función de $g \colon (\mathbb{R}, d_g) \rightarrow (\mathbb{R}, d)$ es una isometría y, en particular, continua con inversa continua. Si $f \colon (\mathbb{R}, d_g) \rightarrow (\mathbb{R}, d_g)$ es continuo, por lo que debe ser $g \circ f \circ g^{-1} \colon (\mathbb{R}, d) \rightarrow (\mathbb{R}, d)$. Por lo tanto, su $f$ debe satisfacer ese $g \circ f \circ g^{-1}$ es continua para todos los bijective funciones de $g$ cuando la norma métrica se utiliza tanto en el dominio y codominio. Deje $x_0 \in \mathbb{R}$, $y_0 := f(x_0)$ y asumen $x_0 \neq y_0$. A continuación, podemos elegir $\delta > 0$ de manera tal que los intervalos de $(x_0 - \delta,x_0+ \delta), (y_0 - \delta, y_0 + \delta)$ son disjuntas. Elegir un bijection $g$ tal que $g|_{(x_0 - \delta,x_0 + \delta)} = \operatorname{id}$ $|g(y) - g(y_0)| > 1$ todos los $y \in (y_0 - \delta, y_0 + \delta) \setminus \{ y_0 \}$. Pero, a continuación, $g \circ f \circ g^{-1}$ no puede ser continua en $x = x_0$ si $f(x) = f(x_0)$ todos los $x$ cerca de $x_0$. Esto muestra que los conjuntos

$$ \{ x \in \mathbb{R} \, | x < f(x_0), f(x) = f(x_0) \}, \{ x \in \mathbb{R} \, | \, x > f(x_0), f(x) = f(x_0) \} $$

no son vacías, abiertas y cerradas, y así debe de ser $(-\infty,f(x_0))$$(f(x_0), \infty)$, respectivamente, mostrando que $f \equiv f(x_0)$.