¿Son homotópicamente equivalentes las fibras de un mapa plano?

Question

Al final del artículo de Wikipedia sobre Deformación Retracción se encuentra la siguiente frase:

Dos espacios son homotópicamente equivalentes si y sólo si ambos son repliegues de deformación de un único espacio mayor.

Me preguntaba si esto tiene algún significado en Geometría Algebraica. Por ejemplo, consideremos la situación de un mapa plano suryectivo de esquemas complejos $f:X\to S$ donde $S$ es una curva suave, por ejemplo, el disco formal.

Pregunta 1 . ¿Son las fibras de $f$ ¿homotopía equivalente? ¿Es cada fibra $X_s$ una deformación retraída del espacio total $X$ ?

He intentado demostrar, en primer lugar, que cualquier fibra es un repliegue del espacio total, pero no estoy seguro de mi solución, y en cualquier caso es más débil que el repliegue por deformación. Pero es lo siguiente: si $X_0$ es una fibra particular de $f$ podemos definir una retracción $r:X\to X_0$ como identidad en $X_0$ y por $$r(x)=\{x\}^-\cap X_0,\,\textrm{for }x\in X\setminus X_0.\,\textrm{(this is the flat limit I guess)}$$

Pregunta 2 . En la categoría topológica, digamos que tenemos un haz de fibras topológico $X\to S$ . ¿Son las fibras homotópicamente equivalentes?

Gracias por cualquier pista al respecto.

Answer 1

Q1. No, no es cierto que todas las fibras de un mapa plano sean homotópicamente equivalentes. Por ejemplo, la expansión de $\mathbf P^1 \times \mathbf P^1$ en un punto corresponde a $\mathbf P^1$ . Este mapa es plano y todas las fibras excepto una son esferas; sin embargo, la fibra restante es una cuña de dos esferas. De forma más general, en una familia plana de curvas se puede "colapsar" una curva cerrada simple, y este ejemplo corresponde a colapsar el ecuador de $S^2$ .

He aquí dos afirmaciones que son ciertas: i) A liso adecuado morfismo de esquemas complejos es topológicamente un haz de fibras y todas las fibras son homeomorfas (teorema de Ehresmann). ii) En una familia plana de subesquemas de un espacio proyectivo, todas las fibras tienen el mismo polinomio de Hilbert.

Q2. En la única definición que conozco de un haz de fibras topológico (localmente tiene la forma $U \times F \to U$ ), es inmediato que todas las fibras son incluso homeomórficas. Si se quiere decir que $f$ es una fibración en el sentido de la teoría de la homotopía, no es cierto que todas las fibras sean homeomórficas, pero sigue siendo cierto que todas son homotópicamente equivalentes. (La base se supone conectada en todo momento).

Answer 2

Me quedo con tu pregunta 2. Por definición un haz de fibras $E\to X$ es localmente homeomorfo a $U\times F$ donde $U$ está abierto en $X$ y $F$ es la fibra. Así que, de hecho, si $X$ están conectadas todas las fibras de $E$ son homeomórfico . Por otra parte, si $X$ tiene componentes conectadas distintas, las fibras sobre cada una de ellas pueden diferir arbitrariamente, de modo que no hay teoría de homotopía que hacer en ninguno de los dos casos.

El análogo homotópico apropiado de un haz de fibras es lo que se denomina un fibración . Este es un mapa $E\to^p X$ tal que para cualquier homotopía $Y\times I\to X$ tal que $Y\times \{0\}$ puede elevarse a $E$ la homotopía completa puede elevarse a $E$ . Los haces de fibras son fibraciones siempre que el espacio base sea razonable, como se ha visto en el caso de los espacios de cobertura. Y a partir de la definición es elemental demostrar que las fibraciones sobre espacios conectados por caminos (pista: espacios para los que existe una homotopía de un punto entre dos puntos cualesquiera) tienen fibras homotópicamente equivalentes. Las fibraciones son, por decirlo así, las "buenas proyecciones" de la teoría de la homotopía.

Todo lo que diré respecto a tu pregunta 1 es que "homotopía equivalente" es a menudo lo que no se pide en geometría algebraica, ya que la topología de Zariski es muy gruesa. Podrías especificar, si lo deseas, que quieres saber si las fibras son homotópicamente equivalentes en la topología analítica, pero creo que la equivalencia de deformación juega un papel más cercano al de la equivalencia de homotopía en geometría algebraica, y creo que las fibras de tu mapa son equivalentes de deformación por la definición de esta última. Espero que alguien responda a la pregunta 1 con más detalle.

Answer 3

No me queda nada claro que las dos preguntas de la pregunta 1 pregunten lo mismo, pero en cualquier caso la respuesta a la primera es "definitivamente no".

Por ejemplo, pensemos en una familia plana de curvas elípticas que degenera en una curva racional nodal. La fibra general es topológicamente un toro, por lo que tiene $H_1 \simeq \mathbf Z \oplus \mathbf Z$ pero la fibra especial es topológicamente un toroide pinzado, por lo que tiene $H_1 \simeq \mathbf Z$ . Así que no son homotópicamente equivalentes.

Desde el punto de vista de la fantasía, este es el caso más sencillo del fenómeno de la ciclos de desaparición .