Teoría del número: $2^n-1\equiv0\pmod{n+1}$ de problemas.

Question

Si $n$ satisface la congruencia $$2^n-1\equiv0\pmod{n+1},$ $ ¿qué es $n$? O si usted no puede saber qué $n$ es, entonces ¿qué puede decirse de $n$?

Gracias de antemano.

Answer 1

Un número $n$ satisfys $2^n\equiv 1\ (\ mod\ (n+1)\ )\ $, si y sólo si $n+1$ es una de fermat-pseudoprime a base $2$.

En particular, si $n+1$ es una extraña prime, de la congruencia tiene. Pero también puede contener, si $n+1$ es compuesto, el más pequeño ejemplo es $n=2046$.

Tenga en cuenta , que existe una cantidad infinita de compuesto de fermat-pseudo-prepara a base de $2$.

Otra manera de clasificar los números que satisface la congruencia : $n$ satisface la congruencia si y sólo si $n+1$ es impar y $ord_2(n+1)|n$. $ord_2(k)$ indica el orden de $k$ base $2$. Este es el número positivo menor que $s$ $2^s\equiv 1\ (\ mod\ k\ )$

Answer 2

Sugerencia:

Uso Fermat's_little_theorem y Fermat_pseudoprime

Que $n=p-1$, donde $p -$ prime. Entonces $$2^{p-1}\equiv1 (\bmod p)$ $

Que $n=p-1$, donde $p-$ número de compuesto. Entonces $p \in $ A001567