Mostrar que $0$ y $1$ son los valores propios más de $A.$

Question

Que $A\in M_n(\mathbb R)$ tal que $A^2=A^T.$ mostrar que $0$ y $1$ son los valores propios más de $A.$

Lo único que puedo ver es que el $\det A=0$ o $1.$ no puedo continuar más.

Answer 1

Prueba esto:

Supongamos que $\lambda$ es un valor propio real de $A$ % real vector propio $x \ne 0$. Entonces tenemos:

$Ax = \lambda x, \tag{1}$

donde

$\langle x, Ax \rangle = \langle x, \lambda x \rangle \tag{2}$

y

$\langle x, Ax \rangle = \langle A^Tx, x \rangle = \langle A^2x, x \rangle = \langle \lambda^2 x, x \rangle = \langle x, \lambda^2x \rangle; \tag{3}$

combinando (2) y (3)

$\langle x, \lambda x \rangle = \langle x, \lambda^2x \rangle \tag{4}$

o

$0 = \langle x, (\lambda - \lambda^2) x \rangle = (\lambda - \lambda^2)\langle x, x \rangle, \tag{5}$

y desde $x \ne 0$, esto implica

$\lambda - \lambda^2 = 0, \tag{6}$

obligando a $\lambda = 0 \; \text{or} \; 1$. QED.

Espero que esto ayude. Cheerio,

y como siempre,

¡Fiat Lux!