Pruebalo $\lim_{t \rightarrow 0} t \int_{0}^{\infty} e^{-tx} f(x) dx =1$

Question

Estoy tratando de resolver 8.11 Rudin:

Supongo que $f$ es Riemann-integrable en $[0,A]$ % todo $A<\infty$y $f(x) \rightarrow 1$ $x \rightarrow \infty$. Demostrar que %#% $ #%

Esto es fácil si uno asume $$\lim_{t \rightarrow 0} \;\int_{0}^{\infty}t e^{-tx} f(x) dx =1.$ es diferenciable (es un caso especial del teorema de valor Final para Laplace transforma), pero al parecer no me permiten asumir continuidad aquí. ¿Alguien tiene alguna idea?

Answer 1

Suponiendo que dejaste la $t$, dividir el intervalo de $[0,\infty)$ $[0,A]$ y $[A,\infty)$ y elija $A$ lo que $|f(x)-1|<\epsilon$ % todos $x>A$. Escribir la integral como la suma de integrales sobre cualquier intervalo. En el primer intervalo, puede utilizar el teorema de convergencia dominada y el hecho de que $f$ es integrable en $[0,A]$. En el intervalo infinito, utilice el hecho de que $f$ es cerca de 1.