Definición de las normas equivalentes

Question

Dos normas $F,G$ son equivalentes cuando hay constantes $a,b$ tal que $aF \le G \le bF$. Estoy leyendo sobre esta idea, y hasta ahora he visto que la equivalencia de las normas implica que el espacio subyacente $X$ tiene la misma topología con respecto a la norma. Tal vez conserva incluso más propiedades de este.

Pero me estoy dando cuenta que es muy difícil de usar esta propiedad al realizar pruebas o problemas ya que, aunque es muy sencillo de estado, yo no ver de inmediato lo que está diciendo. En comparación, cuando se define la 'equivalencia' en otros ámbitos, como en la definición de un isomorfismo de abelian grupos o un mapa continuo, es muy claro que una operación determinada o un objeto se conserva al pasar a través de un mapa.

Para ser concretos, aquí están mis preguntas:

(1) hay otra manera de caracterizar cuando las normas son equivalentes que podría proporcionar más la intuición de lo que dice acerca de que es ser preservado

y (2) hay una manera de demostrar que esta definición es la que usted desea comenzar con algo más fundamental (es como decir que las normas de inducir la misma topología) y, a continuación, demostrando que es equivalente a la indicada definición?

Cualquier intuición para la definición sería de gran ayuda para cualquiera de estas preguntas.

Answer 1

Tal vez sería útil considerar un ejemplo de dos normas $F$ $G$ de un espacio vectorial $X$ no ser equivalentes entre sí. Lo que significa es que al menos una de las cantidades $\sup\limits_{x \in X}\frac{F(x)}{G(x)}$ o $\sup\limits_{x \in X}\frac{G(x)}{F(x)}$ es ilimitado, es decir, hay una secuencia $(x_n)_{n \geq 0}$ de los vectores en el espacio que $\frac{F(x_n)}{G(x_n)}$ o $\frac{G(x_n)}{F(x_n)}$ diverge a $+\infty$ al $n \to \infty$.

Intuitivamente, si una norma $G$ es equivalente a una norma $F$, $G$ ni se estira mucho, ni acorta mucho las longitudes de los vectores ya asignado por $F$. La "nueva" $G-$de la longitud de cada vector está dentro de un límite de su "viejo" $F-$longitud: $\forall x \in X, \quad aF(x) \leq G(x) \leq bF(x)$. No hay partes del espacio estirarse o reducido arbitrariamente mucho.

Para un ejemplo de dos nonequivalent normas, considere el espacio de $C^2([0,1],\mathbb{R})$ real dos veces continuamente diferenciable funciones definidas en $[0,1]$. Definir las dos normas $F(x(t)) = \sup\limits_{t \in [0,1]}|x(t)|$$G(x(t)) = |x(0)| + \sup\limits_{t \in [0,1]}|x'(t)|$. Ahora, si nos fijamos en la secuencia de $x_n(t) = \sin(n\pi t)$, $F-$norma de todos los $x_n$ $1$ mientras $G(x_n) = n\pi$. La unidad de $F-$ámbito es arrancada hasta el infinito cuando el $G$ norma se utiliza.

Answer 2

PROBLEMA

Respuesta

Equivalente normas de definir el mismo uniforme de espacio vectorial.

Explicación

La integridad es un concepto uniforme de espacios vectoriales.

Demostración

Dada la recta real $\mathbb{R}$.

Considerar las métricas: $$d(x,y):=|y-x|$$ $$d'(x,y):=\arctan|y-x|$$

A continuación, se obtiene: $$\mathcal{N}=\mathcal{N}'\quad\mathcal{U}\neq\mathcal{U}$$

Concluyendo problema.

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PRUEBA

Identificación

Dado normativa espacios de $\Omega$$\Omega'$.

Respecto a la categoría de: $$\mathrm{UVS}:\quad\mathrm{Hom}(\Omega,\Omega')=\mathcal{L}(\Omega,\Omega')\cap\mathcal{C}_U(\Omega,\Omega')$$

Identificación: $$\Phi:\Omega\leftrightarrow\Omega':x\mapsto x$$

La linealidad de la siguiente manera: $$\Phi(x+y)=x+y=x+'y=\Phi(x)+'\Phi(y)$$ $$\Phi(\lambda\cdot x)=\lambda\cdot x=\lambda\cdot'x=\lambda\cdot'\Phi(x)$$

Pero por el siguiente: $$\mathcal{L}(\Omega,\Omega')\cap\mathcal{C}_U(\Omega,\Omega')=\mathcal{L}(\Omega,\Omega')\cap\mathcal{C}_L(\Omega,\Omega')=\mathcal{L}(\Omega,\Omega')\cap\mathcal{B}(\Omega,\Omega')$$

Explícitamente que es: $$\|x\|'=\|\Phi x\|'\leq\|\Phi\|\cdot\|x\|$$ $$\|x'\|=\|\Phi^{-1}x'\|\leq\|\Phi^{-1}\|\cdot\|x'\|'$$

La conclusión de la prueba.

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CATEGORÍAS

Espacios Vectoriales Topológicos

Nota lineal mapas: $$\Phi\in\mathcal{L}(\Omega,\Omega')\implies\Phi^{-1}\in\mathcal{L}(\Omega',\Omega')$$

Continua en cero: $$\mathcal{C}_0(\Omega,\Omega'):=\{\Phi:\Omega\to\Omega:\Phi^{-1}(\mathcal{N}_{\Phi0})\subseteq\mathcal{N}_0\}$$

Se tiene la igualdad: $$\mathcal{L}(\Omega,\Omega')\cap\mathcal{C}(\Omega,\Omega')=\mathcal{L}(\Omega,\Omega')\cap\mathcal{C}_0(\Omega,\Omega')$$

Homomorphisms: $$\mathrm{Hom}(\Omega,\Omega'):=\mathcal{L}(\Omega,\Omega')\cap\mathcal{C}(\Omega,\Omega')$$

Isomorfo espacios: $$\Omega\cong\Omega':\iff\Phi:\Omega\leftrightarrow\Omega':\quad\Phi(\mathcal{N})=\mathcal{N}'$$ $$\Phi(x+y)=\Phi(x)+'\Phi(y)\quad((x,y)\in\Omega\times\Omega)$$ $$\Phi(\lambda\cdot x)=\lambda\cdot'\Phi(x)\quad((x,\lambda)\in\Omega\times\mathbb{C})$$

Básica séquitos: $$B_N:=\{(x,y):(y-x)\in N\}\subseteq\Omega\times\Omega$$

Estructura uniforme: $$\mathcal{U}:=\uparrow\{B_N: N\in\mathcal{N}_0\}$$

Primero paso:

Uniforme De Espacios Vectoriales

Barrios: $$\mathcal{N}_z:=\{U[z]:U\in\mathcal{U}\}$$

Uniforme de mapas: $$\mathcal{C}_U(\Omega,\Omega'):=\{\Phi:\Omega\to\Omega':\Phi^{-1}(\mathcal{U}')\subseteq\mathcal{U}\}$$

Se tiene la igualdad: $$\mathcal{L}(\Omega,\Omega')\cap\mathcal{C}_U(\Omega,\Omega')=\mathcal{L}(\Omega,\Omega')\cap\mathcal{C}(\Omega,\Omega')$$

Homomorphisms: $$\mathrm{Hom}(\Omega,\Omega'):=\mathcal{L}(\Omega,\Omega')\cap\mathcal{C}_U(\Omega,\Omega')$$

Isomorfo espacios: $$\Omega\cong\Omega':\iff\Phi:\Omega\leftrightarrow\Omega':\quad\Phi(\mathcal{U})=\mathcal{U}'$$ $$\Phi(x+y)=\Phi(x)+'\Phi(y)\quad((x,y)\in\Omega\times\Omega)$$ $$\Phi(\lambda\cdot x)=\lambda\cdot'\Phi(x)\quad((x,\lambda)\in\Omega\times\mathbb{C})$$

Supongamos que uno encuentra: $$\text{Locally Convex Base}$$

Inducida por seminorms: $$\mu_U(x):=\inf\{r\geq0:x\in rU\}$$

Van siguiente paso:

Localmente Convexo Espacios

Básica séquitos: $$B_{\mu\varepsilon}:=\{(x,y):\mu(y-x)<\varepsilon\}\subseteq\Omega\times\Omega$$

Estructura uniforme: $$\mathcal{U}:=\uparrow\{B_{\mu\varepsilon}:\mu\in\mathcal{S},\varepsilon>0\}$$

Isomorfo espacios: $$\Omega\cong\Omega':\iff\Phi:\Omega\leftrightarrow\Omega':\quad\Phi(\mathcal{S})=\mathcal{S}'$$ $$\Phi(x+y)=\Phi(x)+'\Phi(y)\quad((x,y)\in\Omega\times\Omega)$$ $$\Phi(\lambda\cdot x)=\lambda\cdot'\Phi(x)\quad((x,\lambda)\in\Omega\times\mathbb{C})$$

Supongamos que uno encuentra: $$\text{Countable Base}$$

Inducida Por La Métrica: $$d(x,y):=\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{2^k}\frac{\sigma_k(y-x)}{1+\sigma(y-x)}$$

Van siguiente paso:

Metrizable Espacio Vectorial

Inducida por seminorm: $$\mu(x):=d(x,0)=d(0,x)\geq0$$

De Lipschitz mapas: $$\mathcal{C}_L(\Omega,\Omega'):=\{\Phi:\Omega\to\Omega':d(\Phi\cdot,\Phi\cdot)'\leq L_\Phi d(\cdot,\cdot)\}$$

Se tiene la igualdad: $$\mathcal{L}(\Omega,\Omega')\cap\mathcal{C}_L(\Omega,\Omega')=\mathcal{L}(\Omega,\Omega')\cap\mathcal{C}_U(\Omega,\Omega')$$

Isométrico de los mapas: $$\mathcal{I}(\Omega,\Omega'):=\{\Phi:\Omega\to\Omega':d(\Phi\cdot\Phi\cdot)'=d(\cdot,\cdot)\}$$

Homomorphisms: $$\mathrm{Hom}(\Omega,\Omega'):=\mathcal{L}(\Omega,\Omega')\cap\mathcal{I}(\Omega,\Omega')$$

Isomorfo espacios: $$\Omega\cong\Omega':\iff\Phi:\Omega\leftrightarrow\Omega':\quad d(\Phi\cdot,\Phi\cdot)'=d(\cdot,\cdot)$$ $$\Phi(x+y)=\Phi(x)+'\Phi(y)\quad((x,y)\in\Omega\times\Omega)$$ $$\Phi(\lambda\cdot x)=\lambda\cdot'\Phi(x)\quad((x,\lambda)\in\Omega\times\mathbb{C})$$

De la construcción: $$d(x+a,y+a)=d(x,y)\quad(a\in\Omega)$$

Supongamos que uno tiene: $$d(\lambda x,\lambda y)=|\lambda|d(x,y)\quad(\lambda\in\mathbb{C})$$

Inducida por la norma: $$\|x\|:=d(x,0)\geq0$$

Van siguiente paso:

Normativa Espacios

Inducida por la métrica: $$d(x,y):=\|y-x\|\geq0$$

De Lipschitz mapas: $$\mathcal{B}(\Omega,\Omega'):=\{\Phi:\Omega\to\Omega':\|\Phi\cdot\|'\leq\|\Phi\|\cdot\|\cdot\|\}$$

Se tiene la igualdad: $$\mathcal{L}(\Omega,\Omega')\cap\mathcal{B}(\Omega,\Omega')=\mathcal{L}(\Omega,\Omega')\cap\mathcal{C}_L(\Omega,\Omega')$$

Isomorfo espacios: $$\Omega\cong\Omega':\iff\Phi:\Omega\leftrightarrow\Omega':\quad\|\Phi(\cdot)\|'=\|\cdot\|$$ $$\Phi(x+y)=\Phi(x)+'\Phi(y)\quad((x,y)\in\Omega\times\Omega)$$ $$\Phi(\lambda\cdot x)=\lambda\cdot'\Phi(x)\quad((x,\lambda)\in\Omega\times\mathbb{C})$$

Supongamos que uno tiene: $$\|x+y\|^2+\|x-y\|^2=2\|x\|^2+2\|y\|^2$$

Inducida por el producto escalar: $$\langle x,y\rangle:=\frac{1}{4}\sum_{\alpha=0\ldots3}i^\alpha\|x+i^\alpha y\|$$

Ir paso final:

Espacios De Hilbert

Inducida por la norma: $$\|x\|^2:=\langle x,x\rangle\geq0$$

Ortogonal de mapas: $$\mathcal{O}(\Omega,\Omega'):=\{\Phi:\Omega\to\Omega':\langle\Phi\cdot,\Phi\cdot\rangle'=\langle\cdot,\cdot\rangle\}$$

Se tiene la igualdad: $$\mathcal{L}(\Omega,\Omega')\cap\mathcal{O}(\Omega,\Omega')=\mathcal{L}(\Omega,\Omega')\cap\mathcal{I}(\Omega,\Omega')$$

Homomorphisms: $$\mathrm{Hom}(\Omega,\Omega'):=\mathcal{L}(\Omega,\Omega')\cap\mathcal{O}(\Omega,\Omega')$$

Isomorfo espacios: $$\Omega\cong\Omega':\iff\Phi:\Omega\leftrightarrow\Omega':\quad \langle\Phi\cdot,\Phi\cdot\rangle'=\langle\cdot,\cdot\rangle$$ $$\Phi(x+y)=\Phi(x)+'\Phi(y)\quad((x,y)\in\Omega\times\Omega)$$ $$\Phi(\lambda\cdot x)=\lambda\cdot'\Phi(x)\quad((x,\lambda)\in\Omega\times\mathbb{C})$$

La conclusión de las categorías.

Answer 3

Suponga que tiene una secuencia que converge en $G $. El límite más bajo implica converge en $F $ hasta el límite del mismo.

Suponga que tiene una secuencia que ddoes no convergen en $G $. El límite superior implica no converge en $F $.

Eso es todo lo que necesitas, ya que los espacios métricos son secuenciales.

Answer 4

Usted puede comenzar con "las normas inducen la misma topología". Luego use el hecho de que una transformación lineal es continua si y sólo si limita. Y este es uno de sus desigualdades. Para la otra dirección, utilizar la inversa de esa transformación lineal.