Qué $X\times S^1\cong Y\times S^1$ implica que $X\times\mathbb R\cong Y\times\mathbb R$?

Question

Esta pregunta surgió en un reciente video de la serie de conferencias a cargo de Mike Freedman disponibles a través de Max Planck Institut del sitio web. La prueba de la "difícil" conversar dirección, que $X\times \mathbb R\cong Y\times \mathbb R$ implica $X\times S^1\cong Y\times S^1$ con un sutil "push-pull" argumento, al $X$ $Y$ son compactos. Él va a hacer la observación de que la conversación se mantiene en el simplemente se conecta causa por la toma de universal cubre, pero no es obvio, en general, y puede incluso ser un contraejemplo. Así que mi pregunta es si alguien tiene alguna idea acerca de esta cuestión. Tal vez alguien pueda detectar un contraejemplo en el que no sea simplemente conectado caso?

Edit: he Aquí un enlace al vídeo de la serie. Si recuerdo correctamente, el push-pull argumento es en el primer vídeo.

Answer 1

No, no es posible concluir que $X\times\mathbb{R}\cong Y\times\mathbb{R}$$X\times S^1\cong Y\times S^1$, incluso en el caso de que $X$ $Y$ son compactos diferenciable colectores. De hecho, Charlap¹ mostró los siguientes en 1965.

Existen compacto colectores $X$, $Y$ de diferentes homotopy tipos, pero con $X\times S^1$ diffeomorphic a $Y\times S^1$.

Como $X\times\mathbb{R}$ tiene el mismo homotopy tipo como $X$ para cualquier espacio topológico $X$, esto implica que $X\times\mathbb{R}$ $Y\times\mathbb{R}$ tienen diferentes homotopy tipos, por lo que no son, ciertamente, homeomórficos. Véase también Hilton, Mislin & Roitberg² para ejemplos de no-homotopy equivalente colectores con diffeomorphic productos con mayores dimensiones en las esferas.

Acabo de encontrar esas referencias por un poco de búsqueda alrededor, así que no estoy familiarizado con todos los detalles. Sin embargo, ahora voy a construir un ejemplo claro de los colectores compactos con diferentes grupos fundamentales (por lo tanto, diferentes homotopy tipos), pero con diffeomorphic productos con el círculo. Creo que este ejemplo funciona de manera similar a los ejemplos que se podrían construir con los resultados de Charlap. En mi ejemplo, $X$ $Y$ será de 10 dimensiones de los colectores con cubrir el espacio $S^9\times\mathbb{R}$.

Desde los productos de $X\times S^1$ $Y\times S^1$ se diffeomorphic, deben tener el mismo grupo fundamental. Así, la primera cosa es encontrar a dos personas que no son isomorfos grupos $G$, $H$ cuyos productos directos con el infinito cíclico grupo $Z$ (es decir, los enteros en virtud de la adición) son isomorfos. Como siempre es posible cancelar los productos directos con $Z$ para abelian grupos, es necesario que el $G$ $H$ son no-abelian. Expresado en términos de generadores y relaciones, como, por ejemplo, $$ \begin{align} G &= \langle x,y\mid yx = xy^2, y^{32}=y\rangle,\cr H &= \langle x,y\mid yx = xy^4, y^{32}=y\rangle. \end{align} $$ Este es un muy ligeramente versión simplificada del ejemplo dado en Hirshon³. Tenga en cuenta que cada elemento de a $G$ (resp., $H$) puede ser el único expresado como $x^ry^s$ $s$ tomado del modulo 31, y satisfacer la regla de la multiplicación $(x^{r_1}y^{s_1})(x^{r_2}y^{s_2})=x^{r_1+r_2}y^{2^{r_2}s_1+s_2}$ (resp., $x^{r_1+r_2}y^{4^{r_2}s_1+s_2}$). Estos grupos no son isomorfos. De hecho, si $\bar x$, $\bar y$ son elementos de generación de $G$ $\bar y$ de la orden de 31, entonces debemos tener $\bar y$ un poder de $y$$\bar x=x^{\pm1}y^s$, por lo que el $\bar x^{-1}\bar y\bar x = \bar y^2$ o $\bar y^{16}$. En cualquier caso, este no es igual a $\bar y^4$, lo $G\not\cong H$.

Por otro lado, el producto directo de los $G\times Z$ puede estar formado por la adición de un generador de $z$ $G$que conmutan con a $x$ $y$ y satisface sin más relaciones. Establecimiento $\bar x = x^2z$$\bar z = x^5z^2$, $\bar x, y, \bar z$ también generar $G\times Z$, $\bar z$ desplazamientos con $\bar x$$y$, e $\bar x,y$ satisfacer la relación $y\bar x=\bar xy^4$. A partir de esto se puede ver que $G\times Z\cong H\times Z$.

Ahora voy a definir los espacios de $X,Y$. El simplemente se conecta el colector de $\hat X\equiv S^9\times\mathbb{R}$ puede ser comprendido como el submanifold de $\mathbb{C}^5\times\mathbb{R}$ consiste de los puntos de $(z,s)$$\lVert z\rVert = 1$. Definir el diffeomorphisms $R,S$ $\hat X$ $$ \begin{align} & R(z_0,z_1,z_2,z_3,z_4,s)=(\omega z_0,\omega^2z_1,\omega^4z_2,\omega^8z_3,\omega^{16}z_4,s),\cr & S(z_0,z_1,z_2,z_3,z_4,s)=(z_4,z_0,z_1,z_2,z_3,s+1) \end{align} $$ donde $\omega=e^{2\pi i/31}$. Estos satisfacen las relaciones de $RS=SR^2$$R^{32}=R$, por lo que los grupos $\Lambda_G\equiv\langle S,R\rangle$ $\Lambda_H\equiv\langle S^2,R\rangle$ son isomorfos a $G$ $H$ respectivamente. Definir $X$ $Y$ a ser el cocientes $\hat X/\Lambda_G$$\hat X/\Lambda_H$. Estos son compactos colectores con el no-isomorfo fundamental grupos $\Lambda_G\cong G$$\Lambda_H\cong H$.

Finalmente, voy a mostrar que $X\times S^1$ $Y\times S^1$ son diffeomorphic. Tenga en cuenta que $X\times S^1$ es sólo el colector $X\times \mathbb{R}$ quotiented a cabo por las traducciones $(x,t)\mapsto(x,t+n)$ ($n\in\mathbb{Z}$). Esto puede ser escrito como un cociente $\hat X\times\mathbb{R}/\Lambda^\prime$ donde $\Lambda^\prime=\langle S\times I, R\times I, \hat I\times T\rangle$. Aquí, $\hat I, I$ son las identidades en $\hat X$$\mathbb{R}$, e $T$ es la traducción en $\mathbb{R}$$t\mapsto t+1$. Sin embargo, la escritura $\bar S=S^2\times T$$\bar T=S^5\times T^2$, $\bar S, R\times I,\bar T$ generar $\Lambda^\prime$ y tenemos $$ \begin{align} U^{-1}\bar SU&=S^2\times I,\cr U^{-1}(R\times I)U&=R\times I,\cr U^{-1}\bar TU&=\hat I\times T, \end{align} $$ donde $U$ es el diffeomorphism en $S^9\times\mathbb{R}\times\mathbb{R}$$U(z,s,t)=(z,s+5t,s/2+2t)$. Así, con $\cong$ denotando diffeomorphism, $$ \begin{align} X\times S^1 &\cong S^9\times\mathbb{R}\times\mathbb{R}/\langle S\times I,R\times I,\hat I\times T\rangle\cr &\cong S^9\times\mathbb{R}\times\mathbb{R}/\langle S^2\times I,R\times I,\hat I\times T\rangle\cr &\cong Y\times S^1. \end{align} $$

A un lado, Como ya se señaló en la pregunta, y se muestra en los enlaces de la serie de conferencias, la implicación $X\times\mathbb{R}\cong Y\times\mathbb{R}\Rightarrow X\times S^1\cong Y\times S^1$ mantiene para espacios compactos $X,Y$. Sin embargo, no se sostiene si los espacios no son compactos. Aunque hay más involucrados contraejemplos, como $X=\mathbb{R}^3$ $Y$ la Whitehead colector, también hay mucho más simple contraejemplos, y sólo voy a mencionar aquí que yo pensaba. Tome $X$ a ser la esfera de menos de tres puntos y $Y$ a un toro menos un punto. A continuación, $X$ es el mismo que el de abrir el disco de menos de dos puntos, por lo $X\times S^1$ incrusta en $\mathbb{R}^3$. Por otro lado, existe una incrustado superficie cerrada curva en $Y\times S^1$ intersección con el número 1 (si es integrable en a $\mathbb{R}^3$, la intersección número tendría que ser cero). Por eso, $X\times S^1\not\cong Y\times S^1$. Yo voy a dejar en la construcción de la superficie cerrada curva como un ejercicio interesante, y también la homeomorphism mostrando que $X\times\mathbb{R}\cong Y\times\mathbb{R}$.

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¹Compacto de Riemann Colectores: me, Leonard S. Charlap, Anales de las Matemáticas Segundo De La Serie, Vol. 81, Nº 1 (Ene., 1965), pp 15 a 30. (enlace)

²Esfera de Paquetes de Más de Esferas y la No Cancelación de los Fenómenos, P. Hilton, G. Mislin & J. Roitberg. J. Londres Matemáticas. Soc. (1972) s2-6(1): 15-23 (enlace)

³Sobre la Cancelación en Grupos, R. Hirshon, La American Mathematical Monthly. Vol. 76, Nº 9 (Nov., 1969), pp 1037-1039. (enlace) (Alt. disponible libremente enlace de R. Hirshon la página de inicio)