Intersección de unario del conjunto vacío

Question

En MK (Morse-Kelley) la teoría de conjuntos, la vida es fácil: $\forall X\forall y\left(y\in\bigcap X\leftrightarrow\forall x\left(x\in X\rightarrow y\in x\right)\right)$. Si $X=\left\{\right\}$ $\bigcap X=U$ donde $U$ es la clase universal. Por lo que el (unario) intersección es el conjunto vacío es la clase que contiene todos los conjuntos de elementos. En ZF (Zermelo-Fraenkel) la teoría de conjuntos, en cambio, propio de las clases no están permitidos. Así que, ¿cómo puedo definir $\bigcap X$ en ZF? He probado con las siguientes definiciones:

1. $\forall X\left(X\not=\left\{\right\}\rightarrow\forall y\left(y\in\bigcap X\leftrightarrow\forall x\left(x\in X\rightarrow y\in x\right)\right)\right)$. Esto significa que $\bigcap\left\{\right\}$ es indefinido, que no es bueno.
2. $\forall X\forall y\left(y\in\bigcap X\leftrightarrow X\not=\left\{\right\}\land\forall x\left(x\in X\rightarrow y\in x\right)\right)$. Esto significa que $\bigcap\left\{\right\}=\left\{\right\}$, que es el opuesto de MK.

No podía encontrar ninguna otra valiosa definición. Alguna idea? Gracias.

Answer 1

El hecho de que un adecuado clases son manejados de manera diferente en ZF que en MK en realidad no afecta a la definición de la unario intersección u otras operaciones que puedan producir adecuado de las clases. Así que en ZF, $\bigcap z$ se define mediante la definición de la misma como en MK: $$ y \en \bigcap z \Leftrightarrow (\forall w \z) ( y \w). $$ Al igual que en MK, $\bigcap \emptyset$ es una clase adecuada en ZF.

Hay tratamientos de ZF en el que los autores no manejar correctamente las clases en todas, pero hay otros tratamientos en los que las clases están "permitidos". La forma más sencilla para permitir a ellos es a restringir a definibles adecuada clases, y en silencio reemplazar cada clase, con su definición cuando se utiliza la clase. De esta manera, para cualquier clase o conjunto $z$ tenemos una (posiblemente adecuada) de la clase $\bigcap z$ se define como la anterior. Podemos demostrar un teorema de ZF (como en MK) es que si $z$ es un conjunto no vacío, entonces hay un conjunto $\hat{z}$ tal que $\hat{z} = \bigcap z$.

Anexo: quiero enfatizar que esto no entra en conflicto con la respuesta dada por Arturo Magidin. La definición que declaró aquí (en el que $\bigcap \emptyset$ es una clase adecuada) es el utilizado por Levy, Básicos de la Teoría de conjuntos). La definición en la otra respuesta, en la que $\bigcap \emptyset = \emptyset$, es utilizado por otros autores (creo). Kunen, Jech, y Halmos todos dejan $\bigcap \emptyset$ indefinidos en sus textos ya conocidos.

Answer 2

Lo que aprendí, en ZF, definimos la Unión unario por %#% $ #%

La intersección de unario se define mediante la Unión de unario y el axioma de la separación: $$\forall y \left(y\in\cup X \Leftrightarrow \exists z(z\in X\wedge y\in z)\right).$ $

Usando esta definición, desde $$\cap X = \left\{ y\in\cup X\,|\, \forall z(z\in X\rightarrow y\in z)\right\}.$, entonces el $\cup\emptyset = \emptyset$ así.

Answer 3

La única otra manera que se me ocurre es utilizar la especificación, que es realmente la única manera de saber que tal conjunto existe. Dado un universo $U$, definir $\bigcap X$ a de ser la única $B$ satisfacer la siguiente fórmula:

$$\forall x(x\in B\Leftrightarrow(x\in U\wedge \exists y(y\in X\wedge x\in y)))$$

A continuación,$\bigcap\emptyset=U$. Es esto más o menos deseable que tener $\bigcap\emptyset$ ser una clase adecuada o $\emptyset$ sí? No sé. Mi topología instructor utilizado al definir una topología para asegurarse de que el universo siempre estaba abierta, pero esto es sólo cosmético -- no hay nada que tenga que perder solo incluir esto como otro axioma. En definitiva, supongo que todos, pero la mayoría de hardcore conjunto de los teóricos simplemente usar lo que funciona y de ignorar la axiomática de fondo.