Demuestre que f es uniformemente continua en [0, ∞].

Question

Ejercicio: Supongamos que f:[0, ] R es continua, y que existe un valor real L, tal que f(x) L como x . Demuestra que f es uniformemente continua en [0, ].

Intento: Intentaré utilizar la definición y el teorema.

Definición: una función f: E R es uniformemente continua si para cada > 0, existe a > 0 tal que |x-a| < y x,a son elementos en E implica |f(x) - f(a)| < .

Teorema: Supongamos que a < b y que f: (a,b) R. Entonces f es uniformemente continua en (a,b) si f puede extenderse continuamente a [a,b]; es decir, si existe una función continua g: [a,b] R tal que f(x) = g(x), y x está en (a,b).

Entonces, supongamos que f:[0, ] R, y que existe un valor real L, tal que f(x) L como x . Entonces dejemos > 0. Entonces como [0,), podemos intentar que sea de la forma [0,N]. Así que puede parecer como el teorema. Supongamos que x >= N de modo que |f(x) - L | < . Entonces hay > 0 tal que |x-a| < , y x,a están en [0,N], de modo que |f(x) - f(a)| < .

¿Puede alguien ayudarme, por favor? No sé cómo continuar. Gracias de antemano.

Answer 1

La idea es dividir el dominio en dos partes y luego demostrar que la función es uniformemente continua en cada una de ellas. Esto implica que la función es uniformemente continua en todo el dominio.

Para el primer conjunto utilizaremos su hipótesis de convergencia:

$$\forall \varepsilon>0\exists X>0:\forall x\ge X \quad |f(x)-L|<\frac \varepsilon 2,$$ por lo tanto $$\forall \varepsilon >0 \exists X >0 \quad \forall x,y\ge X \quad |f(x)-f(y)|=|f(x)-L+L-f(y)|\le \varepsilon,$$ por lo que su función satisface los requisitos de una función uniformemente continua sobre $[X,\infty)$ para un determinado $\varepsilon $ .

Por otro lado, en el intervalo $[0,X]$ también es uniformemente continua (continua en un compacto es uniformemente continua), por tanto, con la observación anterior, obtenemos que su función es uniformemente continua en $[0,\infty)$ .