Probar o refutar la desigualdad: $2a^2 + 2b^2 + 3c^2 \ge 16P$

Question

Que $a,b,c$ ser las longitudes de los lados de un triángulo con área $P$ probar o refutan la desigualdad: $2a^2 + 2b^2 + 3c^2 \ge 16P$

Answer 1

Aquí está una prueba algebraica corta. Puesto que ambos lados son homogéneos de grado $2$, nos podemos cambiar la escala para el caso donde $c=1$. Entonces traduciendo $A$ al origen y girando para que $B$ se encuentra en $(1,0))$, podemos reducir al caso donde $A=(0,0)$, $B=(1,0)$ $C$ es $(p,q)$ $p$ y $q$. La desigualdad se convierte entonces en %#% $ de #% es, por simple álgebra, equivalente a la desigualdad válida $$2(p^2+q^2) + 2((p-1))^2 + q^2) + 3 \geq 16 q.$.

Answer 2

$$2a^2 + 2b^2 + 3c^2 \overset{?}{\ge} 16P\tag{1}$$

Sugerencia: sería de gran ayuda saber la fórmula de la Garza que proporciona una fórmula para el área de un triángulo con lados de longitud $a, b, c$: $$P = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$

donde $ s=\dfrac{a+b+c}{2}$. Esto nos da

$$\text{Area}\;=\;\;P = \frac{1}{4}\sqrt{(a^2 + b^2 + c^2)^2 - 2(a^4 + b^4 + c^4)}$$

donde $a, b, c$ son las longitudes de los lados de un triángulo

Sustituyendo $P$ en su desigualdad original, usted puede trabajar con probar/refutar la siguiente desigualdad:

$$2a^2 + 2b^2 + 3c^2 \geq 4\sqrt{(a^2 + b^2 + c^2)^2 - 2(a^4 + b^4 + c^4)}\tag{2}$$

• Empezar con el cuadrado de cada lado de la desigualdad de $(2)$.
  (Esto está muy bien que hacer, sin necesidad de considerar un cambio en el sentido de la desigualdad, debido a que ambos lados son no negativos.) $$(2a^2 + 2c^2 + 3c^2)^2 \geq 16(a^2 + b^2 + c^2)^2 - 32(a^4 + b^4 + c^4)\tag{3}$$
• Si usted lo necesita, usted también tiene la desigualdad de triángulo para trabajar con poner restricciones adicionales sobre la desigualdad: $a + b\geq c,; b + c\geq a,\; a + c\geq b$.

Answer 3

Permita que dos de los lados se $a$$b$, y dejar que el ángulo entre ellos se $\theta$.

Entonces el área es $\frac{1}{2}ab\sin\theta$, lo $16$ veces que es $8ab\sin\theta$.

Por el Coseno de la Ley, el cuadrado de $c^2$ del tercer lado es $a^2+b^2-2ab\cos\theta$. De ello se sigue que $$2a^2+2b^2+3c^2=5a^2+5b^2-6ab\cos\theta.$$ Estamos interesados en probar la desigualdad $$5a^2+5b^2-6ab\cos\theta\overset{?}{\ge} 8ab\sin\theta,$$ o, equivalentemente, $$5a^2-2ab(3\cos\theta+4\sin\theta)+5b^2 \overset{?}{\ge} 0.$$ Nos gustaría mostrar que el discriminante es no positivo. Así que nos gustaría mostrar que $$(3\cos\theta+4\sin\theta)^2 \overset{?}{\le} 25.$$ Esto se reduce a calcular el máximo de $|3\cos\theta+4\sin\theta|$. Pero el máximo es de $5$. Hay muchas formas de demostrar esto. Por ejemplo, supongamos $\phi$ ser el ángulo cuyo seno es $\frac{3}{5}$ y cuyo coseno es $\frac{4}{5}$. Entonces $3\cos\theta+4\sin\theta=5\sin(\theta+\phi)$.

Comentario: Tenemos la igualdad cuando la $a=b=\sqrt{5}$$c=2$.